Миникурс: “Емкости конденсаторов: асимптотические формулы и геометрические преобразования”

Санкт-Петербургский государственный университет и Международный математический институт им. Леонарда Эйлера рады объявить о начале миникурса Владимира Николаевича Дубинина (Институт прикладной математики Дальневосточного отделения РАН) “Емкости конденсаторов: асимптотические формулы и геометрические преобразования”, который пройдет с 20 по 29 октября 2021 года (20.10, 23.10, 27.10, 29.10). Курс состоит из 4 лекционных занятий. Начало лекций: 17-30 (продолжительность одной лекции 1 час 30 минут с перерывом).

Изменение в расписании: 29.10. лекция начнется в 14:30

Курс пройдет в очном формате с трансляцией в Zoom.

Место проведения: 14-я Линия В.О. д. 29, ауд. 201

Zoom meeting ID: 946-3814-5805

Видеозаписи лекций доступны по ссылке.

Описание курса

Курс лекций посвящен развитию емкостного подхода и симметризации в приложениях к современным и классическим задачам геометрической теории функций. На протяжении всего курса рассматриваются только конформная емкость и конденсаторы на комплексной плоскости, либо на римановой поверхности. Вместе с тем, результаты, связанные с геометрическими преобразованиями пластин конденсаторов и поведением емкости конденсаторов при этих преобразованиях, естественным образом переносятся на весьма широкий класс вариационных емкостей и конденсаторов в евклидовом пространстве большего числа измерений. В качестве введения рассматриваются классические конденсаторы с двумя пластинами, заданные в областях сферы Римана. Затем мы переходим к изучению свойств конденсаторов с тремя и более пластинами: различных видов монотонности, принципов композиции и симметрии. На второй лекции выводятся асимптотические формулы для емкостей обобщенных конденсаторов, когда некоторые пластины этих конденсаторов стягиваются в точки, включая случай вырождения всех пластин конденсатора. Здесь же обсуждается понятие приведенного модуля, частные случаи которого в виде модулей двуугольников и треугольников рассматривались ранее с позиции метода экстремальных метрик.

Изучение геометрических преобразований начнем с поляризации – простейшей, но весьма важной перестановки пластин конденсатора. Коснемся истории вопроса, связанной с задачей Вуоринена. Затем докажем основной результат и обсудим обобщения и приложения этого результата, в частности, к решению одной задачи Гончара. Далее познакомимся с цепочкой преобразований, связанной с поляризацией, которая приводит к различным видам симметризации конденсаторов, как на плоскости, так и в пространстве. Наконец, коснемся диссимметризации конденсаторов – единственного пока преобразования симметричного конденсатора в несимметричный, при котором емкость конденсатора не возрастает.

Помимо классических приложений метода симметризации мы рассмотрим новые направления: геометрические оценки производной Шварца, неравенства для модулей критических значений конечных произведений Бляшке и некоторые оценки гриновой энергии дискретного заряда. В каждой лекции предполагается исходить из постановки задачи (либо методологической идеи) и затем реализации решения этой задачи на доступном примере. После чего приводится обзор возможных обобщений с указанием нерешенных проблем. В основу лекций легли некоторые главы из книги автора «Condenser capacities and symmetrization in geometric function theory» (Birkhäuser/Springer, 2014).