Seminar in complex and harmonic analysis

These days seminar sessions are zoom meetings each Wednesday. To participate in the seminar, join zoom channel 933-271-498. If you do not know the password, please write an email to Yurii Belov. Some records of talks given on the seminar are  avaliable here.

Forcoming talks

June 24, 17:10-18:10

P. Perstneva, St.Petersburg State University

Indicator functions with uniformly bounded Fourier sums and large gaps in the spectrum

 We will speak on the recent work, closely related to the well-known article of Olevskii and Nazarov from 2017. We will present the construction of an indicator function with “thin” Fourier-spectrum and bounded “Fourier sums” on the line (on an arbitrary locally-compact Abelian group of finite dimension), which can be viewed as a “violation” of the uncertainty principle. Moreover, such an indicator function can be obtained by small perturbation from any indicator function of a set of finite measure fixed in advance. Therefore the result can also be interpreted as a Men’shov-type correction theorem. Recall that the classical Men’shov theorem asserts that any continuous function on the circle can be corrected on a subset of an arbitrary small measure to get a function with uniformly convergent Fourier series.

We plan to discuss the notions of “thin” Fourier-spectrum and “Fourier sums” for locally compact Abelian groups and to state a certain weighted version of the result. Then we will sketch the proof of the result above for the line. We will also present another Men’shov-type result for essentially bounded functions with compact support on the line, which ensures a sharp estimate on the supremum of partial Fourier integrals.

Joint work with S.V. Kislyakov, https://arxiv.org/abs/2006.02561

Past talks

June 10, 17:10-18:10

A. Kulikov, Norwegian University of Science and Technology and SPbSU


Fourier interpolation and time-frequency localization

 

In their recent breakthrough paper D. Radchenko and M. Viazovska proved that every Schwartz function f can be recovered from the values of it and its Fourier transform at \pm \sqrt{n} by means of an interpolation formula

    \[ f(x) = \sum_{n= 0}^\infty a_n(x)f(\sqrt{n}) + b_n(x)f(-\sqrt{n}) + c_n(x)\hat{f}(\sqrt{n}) + d_n(x)\hat{f}(-\sqrt{n}). \]

If we consider the corresponding interpolation sets \Lambda = M = \{ \pm \sqrt{n}\} and their counting functions n_\Lambda(R) = |\Lambda \cap [-R, R]|, we can easily see that n_\Lambda(W) + n_M(T) \ge 4WT - O(1), which perfectly matches famous Slepian’s 4WT Theorem.

Recently, we showed (A. Kulikov, arXiv:2005.12836) that a similar bound

    \[n_\Lambda(W) + n_M(T) \ge 4WT - O(\log^{2+\eps}(4WT))\]

holds for all such Fourier interpolation formulas. The proof is based on the properties of the so-called prolate spheroidal wave functions, which are interesting in their own right.

May 27, 17:10-18:10

A. Bondarenko, Norwegian University of Science and Technology

Fourier interpolation with zeros of zeta and L-functions

We construct a large family of Fourier interpolation bases for functions analytic in a strip symmetric about the real line. Interesting examples involve the nontrivial zeros of the Riemann zeta function and other L-functions. We establish a duality principle for Fourier interpolation bases in terms of certain kernels of general Dirichlet series with variable coefficients. Such kernels admit meromorphic continuation, with poles at a sequence dual to the sequence of frequencies of the Dirichlet series, and they satisfy a functional equation. Our construction of concrete bases relies on a strengthening of Knopp’s abundance principle for Dirichlet series with functional equations and a careful analysis of the associated Dirichlet series kernel, with coefficients arising from certain modular integrals for the theta group.

May 20, 17:10-18:10

A. Baranov, St.Petersburg State University

Аппроксимация функциями из диск-алгебры в пространствах аналитических функций, инвариантных относительно обратного сдвига

В докладе планируется рассказать об одной недавней работе А. Алемана и Б. Мальмана о плотности функций из диск-алгебры в гильбертовых пространствах функций, аналитических в круге. Показано, что такая плотность имеет место для класса пространств, в которых оператор обратного сдвига является сжатием. Этот класс включает в себя модельные пространства и пространства де Бранжа-Ровняка. 

May 6, 17:10-18:10

J. Ortega Cerda, University of Barcelona

An enhanced uncertainty principle

We improve on some recent results of Sagiv and Steinerberger that quantify the following uncertainty principle: for a function f with mean zero, then either the size of the zero set of the function or the cost of transporting the mass of the positive part of f to its negative part must be big. We also provide a sharp upper estimate of the transport cost of the positive part of an eigenfunction of the Laplacian. This proves a conjecture of Steinerberger and provides a lower bound of the size of a nodal set of the eigenfunction. Finally, we use a similar technique to provide a measure of how well the points in a design in a manifold are equidistributed.

This is joint work with Tom Carroll and Xavier Massaneda.

April 22, 17:10-18:10

O. Yakir, Tel Aviv University

Recovering the lattice from its random perturbations

Given a d-dimensional Euclidean lattice, we consider the point process obtained by adding an independent Gaussian vector to each of the lattice points. In my talk, I will explain a simple procedure that recovers the underlying lattice from a single realization of this random point process (arXiv:2002.01508).

April 15, 17:10-18:10

I. Bochkov, St.Petersburg State University

Fourier interpolation on the real line

Мы разберем работу М. Вязовской и Д. Радченко про интерполяцию в классе Шварца: “We use weakly holomorphic modular forms for the Hecke theta group to construct an explicit interpolation formula for Schwartz functions on the real line. The formula expresses the value of a function at any given point in terms of the values of the function and its Fourier transform on the set \pm\sqrt{n}.”

April 8, 17:10-18:10

K. Fedorovski, Moscow Bauman University

Знакомые и незнакомые свойства полианалитических функций

Полианалитические функции – это функции комплексного переменного, имеющие вид многочленов некоторой фиксированной степени от сопряженного переменного с голоморфными функциями в качестве коэффициентов. Класс полианалитических функций возник более 100 лет тому назад в связи с задачами плоской теории упругости. Полианалитические функции представляют значительный интерес для теории эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных, так как многие свойства функций этого класса являются “модельными” для решений уравнений, не являющихся сильно-эллиптическими.  Возникают полианалитические функции и в многомерном комплексном анализе при изучении свойств функций двух комплексных переменных на неаналитических поверхностях.  В докладе будет приведено введение в теорию полианалитических функций и представлен ряд недавних результатов в этой теории.

April 1, 17:10-18:10

P. Mozolyako, St.Petersburg State University

Discrete and continuous Carleson embeddings for Hilbert spaces of harmonic and analytic functions.

One of the possible ways to interpret the description of the trace measure-weight pair for the weighted Hardy inequality on a tree (and poly-tree) is the characterization of Carleson measures for the weighted Dirichlet spaces on the unit disc (poly-disc). In dimension one this connection was investigated by Arcozzi, Rochberg et al., in higher dimensions however the only known results concern the endpoints of the Hardy-Dirichlet scale, in particular the Hardy space case (in this context) is treated via a highly non-trivial result by Lacey-Ferguson on the symbols of Hankel operators in the bidisc. We aim to give a short overview of this discrete-continuous-analytic transition and discuss some arising questions.

March 11, 17:10-18:10

Yu. Lyubarski, St.Petersburg State University

Системы экспонент в плоских выпуклых областях

Следуя работе Иосевича, Каца и Тао, мы докажем, что в пространстве суммируемых с квадратом функций в выпуклой области, граница которой имеет положительную кривизну, не существует ортогонального базиса из экспонент. Мы также обсудим связь этих вопросов с задачами интерполяции в пространствах целых функций двух переменных и теоремой Феффермана о мультипликаторе.

February 26, 17:10-18:10

March 4, 17:10-18:10

Yu. Belov, St.Petersburg State University

Задачи единственности для преобразования Фурье

Недавно М. Вязовская и Д. Радченко доказали, что если функция из класса Шварца и ее преобразование Фурье равны 0 в точках {\pm\sqrt{n}}, то функция тождественно равна 0. Более того, это результат точен — ни одну точку нельзя выкинуть. Доказательство этой замечательной теоремы основано на теории модулярных форм и поэтому не может быть применено для возмущений исходного множества или даже намного более плотных множеств. Мы обсудим похожие теоремы единственности, полученные Дж. Рамосом и М. Суза, которые опираются на комплексный анализ. Множества единственности в этих теоремах намного более плотные, зато допускают возмущения.