Дополнительные главы линейной алгебры и математического анализа для нематематиков (продолжение)

(Ведут д.ф.-м.н. А.И.Назаров, д.ф.-м.н. С.Г. Крыжевич, д.ф.-м.н. Е.О. Степанов)

Занятия по четвергам в 17:20 в ауд. 106 ПОМИ.
Первое занятие 13.02.20

Мы продолжаем серию курсов, имеющих целью повышение математической грамотности нематематиков – прежде всего инженеров и программистов. В настоящее время объем математических курсов в обязательной программе высшего образования инженеров, прикладных математиков и информатиков уменьшился кратно по сравнению с ситуацией 30-40 летней давности. Соответственно изменился и (a) объем математических знаний и (б) общая математическая культура выпускников нематематических специальностей вузов. Цель этого курса – постараться довести уровень (а) и (б) до того, который считался нормальным 30-40 лет назад, и фактически является минимально необходимым для работы инженеров во многих высокотехнологичных отраслях промышленности (скажем, в разработке сложного программного обеспечения, робототехнике, анализе больших данных).

Занятия могут быть полезны прежде всего студентам первого курса технических и смежных с ними специальностей вузов.

1. В текущем, 2019/20 учебном году мы предполагаем сосредоточиться в основном на линейной алгебре и частично на аналитической геометрии, возможно, с элементами дифференциальной геометрии кривых и поверхностей. Примерный набор тем, который предполагается осветить, приведен ниже.
   Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса-Йордана (метод полного исключения). Элементы алгебры матриц. Транспонирование, эрмитово сопряжение, умножение матриц. Матричные уравнения. Обратная матрица.
2. Квадратные матрицы. Определитель. Обращение квадратной матрицы. LU-разложение.
3. Пространства R^n и C^n. (Абстрактное) линейное пространство. Линейная зависимость векторов. Размерность пространства, базисы. Пространства полиномов. Полиномиальная интерполяция. Полиномиальные сплайны.
4. Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы. Подобные матрицы.
5. Скалярное произведение векторов. Норма вектора. Ортогональность векторов. Унитарная матрица. Площадь параллелограмма и объем параллелепипеда. Алгоритм Грама–Шмидта. $QR$-разложение матрицы.
6. Самосопряженная матрица. Свойства собственных чисел и собственных векторов. Метод Якоби.
7. Линейные формы. Квадратичные формы. Геометрическая интерпретация квадратичных форм.
8. Линейный метод наименьших квадратов. Сингулярные числа и сингулярные базисы матрицы. Псевдорешение системы линейных алгебраических уравнений. Полиномиальное сглаживание. Сглаживание полиномами, ортогональными на сетке. Дискретное преобразование Фурье.
9. Элементарный анализ погрешностей. Норма матрицы. Трансформированная погрешность решения системы линейных алгебраических уравнений. Число обусловленности матрицы. Метод простой итерации.
10. Аналитическая геометрия в евклидовом пространстве. Произведения векторов (векторное, скалярное, смешанные). Вычисление длин, площадей, объемов. Косоугольные системы координат и двойственные базисы. Вычисления в косоугольных координатах.
11. Элементы тензорной алгебры. Ковариантный и контравариантный координаты векторов и теноров. Метрический тензор.
12. Кривые и поверхности. Криволинейные координаты. Вычисление длин, площадей и объемов. Кривизна кривой и кривизны поверхностей.