‎Low-dimensional topology student seminar

The organizers of the seminar strive to unite people who are interested in various sections of low-dimensional topology. One of the main goals of the seminar is engaging research participants in exciting discussions followed by flights of fantasies, leading to both the generations of specific problems and ways of their solution. In the understanding of the organizers of the seminar, low-dimensional topology includes such aspects of the theory of surfaces, three-dimensional manifolds, and knots as complexity measures, geometric and combinatorial structures, Thurston classification, polynomial invariants and finite order invariants, surgery, branched coverings, configuration spaces, mapping class groups, and others. We would like to organize not so much an overview seminar, but rather classes in which everyone interested in research areas related to the topics proposed above could familiarize themselves with the context in the research and join it.

To participate in the seminar activities, please contact Ilya Alexeev. You can also use this link to join the mailing list of the seminar.

Seminar addresses: room 201, zoom channel ID 812-916-426. If you do not know the password, please write an email to Ilya Alekseev.

Организаторы семинара стремятся объединить людей, интересующихся теми или иными аспектами маломерной топологии. Одной из основных целей семинара является проведение обсуждений захватывающих участников исследовательских направлений, за которыми следуют полеты фантазий, приводящие как к генерации конкретных задач, так и к их решениям. В понимании организаторов семинара, маломерная топология включает в себя такие аспекты теории поверхностей, теории трёхмерных многообразий и теории узлов, как: меры сложности, геометрические и комбинаторные структуры, тёрстоновская классификация, полиномиальные инварианты и инварианты конечного порядка, хирургии, разветвлённые накрытия, конфигурационные пространства, группы классов отображений и другие. Хотелось бы организовать не столько обзорный семинар, сколько занятия, на которых все желающие, которым интересны исследовательские направления, касающиеся предлагаемых выше тем, могли бы ознакомиться с контекстом и присоединиться к актуальным исследованиям.

Видеозаписи прошедших заседаний: ссылка.

Стенограмма заседаний: ссылка.

Telegram канал: ссылка.

Для участия в мероприятиях семинара обращайтесь к Илье Алексееву. Вы также можете использовать эту ссылку, чтобы подписаться на рассылку семинара.

Адрес: 14 линия В.О., дом 29Б, аудитория 201.

Zoom канал: ID 812-916-426, пароль стандартный (его можно спросить у Ильи Алексеева).

Forcoming talks

1 июня, 16:00-18:00

Никита Голубь

Теория поля и топология

Доклад представляет собой обсуждение математических аспектов фундаментальной физики, сосредоточенных вокруг теории поля. В ходе презентации будут рассмотрены основные концепции, связанные с теорией Эйлера-Лагранжа, дифференциальной топологией и теорией гомотопических типов.
Слушатели узнают о таких важных понятиях, как фермионные и бозонные поля, а также получат краткий обзор Стандартной модели. Особое внимание будет уделено аномалиям и их связи с дифференциальной топологией.
Доклад также охватит взаимосвязь теории Черна-Саймонса с теорией узлов, которая использует процедуру геометрического квантования.

Past talks

18 мая, 16:00-18:00

Артём Семидетнов

Группы Томпсона в алгебре, геометрии и топологии

Группы Томпсона были введены Ричардом Томпсоном в 1965 году как потенциальный контрпример к гипотезе фон Неймана об аменабельности. Эти группы имеют множество различных воплощений, а также обобщений, продолжающих существующие конструкции. Доклад посвящен в первую очередь различным представлениям групп Томпсона: их можно задавать как группы автоморфизмов группоидов, удовлетворяющих определенному универсальному соотношению, как подгруппы в группах классов отображений, как фундаментальные группы обобщенных конфигурационных пространств.
Никаких специальных пререквизитов, за исключением базового курса алгебры и топологии, для понимания не требуется.

11 мая, 16:00-18:00

Андрей Рябичев

Триангуляции, гладкие структуры и трюк Кирби для поверхностей

Известно, что на топологических многообразиях размерности d<4 существует гладкая структура, причём единственная с точностью до изотопии. Случай d=1 каждый может продумать как упражнение, я же планирую рассказать про менее тривиальный случай d=2. А именно, мы посмотрим на доказательство из известной заметки Хатчера arXiv:1312.3518, разберём все подробности и обсудим возникающие смежные вопросы. Будут функции Морса, будут изотопии и немного комбинаторики. И самое главное, нам предстоит ответить на будоражащий вопрос: почему трюк с тором? разве нельзя проще? Если хватит времени, мы поговорим про более высокие размерности (или не поговорим).

4 мая, 16:00-18:00

Виктор Лопаткин

Жадная нормальная форма — это нормальная форма Грёбнера-Ширшова

В теории групп кос был удивительный случай, когда один школьный учитель из Шотландии (Гарсайд) предложил очень красивую идею о копредставлении групп кос. Позже эта идея была продолжена в работах Адяна и Тёрстона. В результате было показано, что группа кос является автоматной и, более того, была предъявлена нормальная форма (базис группового кольца), которая называется жадной нормальной формой (greedy normal form). Далее эту идею уже продолжил развивать Дэорнуа с коллегами, и в результате получалась теория Гарсайда, которая распространилась на малые категории, заданные копредставлением.
С другой стороны, в комбинаторной алгебре существует очень мощный и в то же время простой способ получения нормальных форм для переписывающих систем — теория базисов Грёбнера — Ширшова. Вообще говоря, эта техника есть прямое обобщение деления полиномов от одной переменных на случай некоммутативных (и даже лиевых) полиномов от нескольких переменных (а также и на ряды). Так называемая бриллиантовая лемма (the Composition-Diamond lemma) и позволяет, в частности, получать нормальные формы у алгебраических систем, которые заданы образующими и соотношениями (ассоциативность, как оказалось, можно заменить на более слабое свойство, например, на лиевость).
В этом докладе я расскажу, как Леонид Аркадьевич Бокуть легко и просто получил жадную форму как следствие того факта, что с помощью автомата Тёрстона находится базис Грёбнера — Ширшова для группового кольца группы кос. Если останется время, я расскажу о своём результате, который есть обобщение подхода Бокутя, и также то, что мы можем получить теорию Гарсайда, развитую Дэорнуа и коллегами, как простое следствие из теории базисов Грёбнера — Ширшова.

27 апреля, 16:00-18:00

Сергей Фомин

Соотношения Дена — Соммервиля

Формула Эйлера для выпуклых многогранников задаёт ограничение на их комбинаторное устройство. Можно показать, что это — единственное линейное соотношение на количества граней у произвольных трёхмерных выпуклых многогранников. Но для многогранников размерности n>3, гранями которых являются симплексы, имеется целый набор из (n+1) / 2 так называемых соотношений Дена — Соммервиля. Различные доказательства этих соотношений мотивированы идеями из алгебраической топологии, дифференциальной геометрии, алгебраической комбинаторики и прочих комбинаций слов «алгебра», «геометрия», «топология» и «комбинаторика». Доклад посвящён этим доказательствам и связям.

Пререквизиты предполагаются минимальными, но знание понятий «двойственность Пуанкаре» и «аффинное алгебраическое многообразие» улучшит восприятие доклада.

13 апреля, 16:00-18:00

Василий Ионин

Теории когомологий и бесконечнократные пространства петель

С каждым пространством X можно связать теорию когомологий Hom(-, X). Мы покажем, что так получаются все теории когомологий на гладких многообразиях, которые (а) гомотопически инвариантны; (б) удовлетворяют аксиоме склейки. Также мы покажем, что если пространство X является бесконечнократным пространством петель, то эта теория когомологий автоматически оснащается некоторой дополнительной структурой (конечными этальными трансферами), что приведёт к ещё одному решению задачи распознавания бесконечнократных пространств петель.

Специальных знаний от слушателей не предполагается, все термины из аннотации будут определены на докладе!

Пререквизиты: базовый курс топологии (понятие гомотопической эквивалентности, петельного пространства и надстройки), представление о сопряжённых функторах.

23 марта, 16:00-18:00

Юрий Белоусов

Явная формула гиперболического объема двухмостовых узлов

Мы обсудим недавнюю работу Жюльена Марша [J. Marche, A formula for the volume of two-bridge knots, arXiv:2403.07133], в которой получена явная формула гиперболического объема двухмостовых узлов. Особенный интерес здесь вызывает техника: итоговый ответ получен без использования триангуляции дополнения узла.
Предполагается знакомство слушателей с базовыми определениями теории узлов.

16 марта, 16:00-18:00

Илья Алексеев

Теорема Керекьярто о периодических гомеоморфизмах диска и сферы

Доклад посвящен доказательству теоремы Керекьярто о том, что любой имеющий конечный порядок автогомеоморфизм диска или сферы сопряжен изометрии. Данный результат является ключевым компонентом классификации периодических элементов в группах классов отображений поверхностей и открывает пути в теорию действий конечных групп на многообразиях и теорию орбифолдов. Доклад следует статье https://arxiv.org/abs/math/0303256.

9 марта, 16:00-18:00

Кирилл Сулливан

Групповое пополнение моноидов

Я расскажу про теорему Баррата — Кана — Придди — …. Чтобы заинтересоваться ей, можно прочитать статью на Википедии. Чтобы постичь саму ее суть, нужно изучить книжку «Гомотопически инвариантные алгебраические структуры на топологических пространствах» Бордмана — Фогта. Мой доклад будет о петлях и распетливании (отсюда групповое пополнение), о нескольких вещах, касающихся операд, а также о доказательстве теоремы Баррата — Кана — Придди через конструкции, связанные с конфигурационными пространствами.

19 февраля, 16:00-18:00

Антон Рябков

Трёхрёберные минимальные идеальные триангуляции 3-многообразий с краем

Фундаментальной проблемой маломерной топологии является проблема классификации трехмерных многообразий. Понятие сложности трехмерного многообразия, введенное С.В. Матвеевым еще в 1988 году, лежит в основе одного из подходов к частичному решению данной проблемы. Оно основано на идее представления компактного трехмерного многообразия его спайном. В определенном смысле спайн трехмерного многообразия — это двумерный подполиэдр, на который можно коллапсировать многообразие, а сложность многообразия — это минимально возможное число сингулярных вершин в таком подполиэдре.
Задача вычисления сложности многообразий является весьма трудной. К настоящему времени точные значения сложности известны только для конечного числа табулированных многообразий, нескольких бесконечных семейств многообразий с краем, замкнутых многообразий и многообразий с каспами.
На докладе речь пойдет об одном из подходов к нахождению точных значений сложности 3-многообразий с краем, который основан на применении так называемого эпсилон-инварианта. В частности будет доказан признак минимальности 3-многообразий, идеальные триангуляции которых имеют ровно три ребра.

10 февраля, 13:40-15:40

Андрей Рябичев

Поверхности бесконечного типа

Подавляющее большинство людей начинают знакомство с топологией с понятия поверхности. Все знают, что компактная ориентируемая поверхность без края гомеоморфна связной сумме торов. На этом простом примере удобно впервые вычислить фундаментальную группу и гомологии. Далее можно не расставаться с ним и серьёзно заняться изучением группы классов отображений, римановых структур, пространства модулей, группы Торелли, и т.д…

Но что, если отбросить требование компактности? Оказывается, при этом могут возникать довольно дикие примеры вроде сферы с несчётным числом проколов. Тем не менее некомпактные поверхности допускают относительно простую классификацию через множество концов (компонент связности проективного предела дополнений компактных подмножеств).

Про эту классификацию и разные взгляды на неё я и расскажу. Если останется время, мы также поговорим о гиперболических структурах и спектре длин геодезических. Для понимания доклада не помешает умеренное владение общей топологией и дикое геометрическое воображение.

30 декабря, 13:40-15:40

Василий Ионин

Конфигурационные пространства, группы кос и симплициальная теория гомотопий

Симплициальная теория гомотопий представляет собой современный фреймворк, призванный исправить несовершенства классической теории гомотопий. Одновременно с этим она открывает новые возможности для моделирования топологических объектов, приводящие к конструкциям, поддающимся комбинаторному анализу.

Группой кос на поверхности M называется фундаментальная группа конфигурационного пространства n-ок различных точек в M. Коса называется брунновой, если все косы, получающиеся из неё удалением любой нити, тривиальны. Вложение диска в сферу индуцирует гомоморфизм Brun_n(D) -> Brun_n(S^2). Удивительнейший результат A. J. Berrick, F. R. Cohen, Y. L. Wong и J. Wu гласит, что для n > 4 коядро этого гомоморфизма совпадает с (n-1)-й гомотопической группой S^2. Таким образом, старшие гомотопические группы S^2 можно описать как фактор брунновых кос на сфере по брунновым косам на диске. Доказательство этой теоремы существенным образом использует симплициальные техники.

В своем докладе на конгрессе Р. Михайлов сказал: «Последовательность гомотопических групп S^2 является одним из самых мистических объектов в математике. Тяжело спекулировать, насколько мы далеки от его понимания. Это очень странное везение, что мы можем реализовать так сложно устроенные объекты в качестве просто описываемых факторов».

На докладе мы воспроизведем доказательство этого результата, а также продемонстрируем, как можно, пользуясь схожими идеями, построить новую симплицальную структуру на коммутантах групп крашеных кос, моделирующую S^3, и прийти к неожиданным импликациям.

23 декабря, 13:40-15:40

Илья Алексеев

Формулы Пуанкаре — Гуревича и Хопфа (продолжение)

16 декабря, 13:40-15:40

Андрей Рябичев

Отображения с заданными бордмановскими особенностями — 14

На прошлом докладе мы обсудили, как по послойно-инъективному морфизму касательных расслоений TM → TN строить погружение многообразий M → N (теорема Смейла — Хирша), а по послойному изоморфизму T^S M → TN — погружение M → N со складками в S (теорема Элиашберга).
Но как контролировать другие особенности гладких отображений M → N, более сложные, чем складки?
В этот раз я расскажу об аналоге векторного расслоения T^S M, в терминах которого легко обобщается теорема Элиашберга. В размерности 2 для заданных локусов складок C и сборок P в M расслоение T^{CP} M строится путём простых переклеек в окрестности C и P. Мы вычислим его харклассы и докажем необходимое и достаточное условие, при котором существует отображение поверхностей с заданными складками и сборками.
В общем случае известна стратификация множества Σ(f) критических точек общего гладкого отображения f:M→N, приходящая из естественной стратификации пространства струй J(M,N). По этой стратификации гипотетически можно понять схему переклейки, позволяющую получить f*TN из TM, но я не знаю, как понять её! Мы поговорим об этом и похожих смежных вопросах.
Для понимания доклада не требуется знакомства с предыдущей частью, состоявшейся 9 декабря (хотя и не повредит), достаточно владения простыми приёмами работы с гладкими отображениями и векторными расслоениями.

09 декабря, 13:40-15:40

Андрей Рябичев

Отображения с заданными бордмановскими особенностями — 7

Пусть даны два многообразия M и N. Хотелось бы научиться строить отображения f: M→N, имеющее критические точки заранее заданного типа в заранее заданных подмножествах M, либо доказывать, что таких отображений не существует.
Я начну с результатов Смейла — Хирша о погружениях и Элиашберга о погружениях со складками (и расскажу интуитивные идеи их доказательств, если позволит время). Затем я напомню классификацию особенностей по Тому — Бордману и введу естественное обобщение предыдущих теорем (ещё, может, скажу пару слов про работы Андо на ту же тему, но немного в другом направлении).
К сожалению, пока это обобщение существует только в случае dim M = dim N. Тем не менее, с помощью него легко оценить, например, существует ли отображение между поверхностями, имеющее заданные локусы складок и сборок, или решить аналогичную трёхмерную задачку — эти примеры я рассчитываю подробно разобрать в конце. Всё это написано в моей диссертации, причём даже на русском языке, но что делать в случае dim M ≠ dim N, к сожалению, пока непонятно, а значит, это самое интересное!

02 декабря, 13:40-15:40

Илья Алексеев

Формулы Пуанкаре — Гуревича и Хопфа

Доклад посвящен доказательству теорем Пуанкаре — Гуревича и Хопфа, связывающих первую и вторую группы (сингулярных) гомологий топологического пространства с его фундаментальной группой. Кроме всего прочего, мы покажем, что коммутант фундаментальной группы совпадает с множеством гомотопических классов петель, ограничивающих некоторую (сингулярную) компактную ориентируемую поверхность, и что двумерные циклы в топологическом пространстве соответствуют коммутаторным тождествам в его фундаментальной группе. Доклад основан на заметке A. Putman, «Hopf’s theorem via geometry».

25 ноября, 13:40-15:40

Артём Алёшин

Как построить альтернированный узел?

Доклад посвящен развитию недавних результатов И. С. Алексеева, А. В. Малютина и А. М. Вершика о генерации семейства попарно различных альтернированных узлов. Мы покажем, как из любой диаграммы сделать альтернированную, поговорим о гипотезах Тейта, позволяющих понять, какие альтернированные диаграммы имеют минимальное количество перекрестков, и обсудим, как с помощью флайпов можно различать узлы, представленные такими диаграммами.

04 ноября, 13:40-15:40

Даша Аксенова

О Трюке Александера

Одной из базовых конструкций топологии является Трюк Александра (1923), который утверждает, что каждый гомеоморфизм n-мерного шара, тождественный на граничной сфере, связан с тождественным гомеоморфизмом изотопией, неподвижной на этой сфере.
Мы поговорим о фундаментальных теоремах маломерной топологии, в доказательстве которых Трюк Александера выступает важным инструментом. Обсудим его новые обобщения, доказательство одного из которых рассмотрим подробно, а также разберем примеры применения этого варианта Трюка.

28 октября, 13:40-15:40

Руслан Магдиев

Как не надо решать проблему Бернсайда

Проблема Бернсайда, до сих пор открытая в общем случае, гласит: при каких n и r группа экспоненты n, порожденная r элементами, конечна? Или, эквивалентно, какие из групп Берсайда B(r,n) — свободных объектов категорий групп экспоненты n, конечны? В докладе будут представлены актуальные результаты о данных группах, а также рассказаны различные методы, которыми можно пробовать атаковать вопрос о конечности групп B(2,p), где p — простое. Особое внимание будет уделено случаю p = 5. Большинство методов будут касаться нильпотентной геометрии, аменабельности и периодических групп, действующих на деревьях. Также будут обсуждаться конструкции комбинаторной теории групп и некоторые её гомологические аспекты. От слушателя ожидаются лишь базовые знания первых двух курсов бакалавра.

21 октября, 13:40-15:40

Илья Алексеев

Многочлен Александера — Конвея

Будет представлено вводное изложение классического инварианта узлов и зацеплений, открытого Дж. Александером в 1923 году. В отличие от оригинального подхода Александера, который основан на вычислении гомологий циклического разветвленного накрывающего пространства, для работы с данным инвариантом мы обратимся к комбинаторному подходу, получившему известность в 1969 году благодаря Дж. Конвею. Так, мы выведем формулу для выражения многочлена Александера — Конвея по диаграмме узла, а также установим зависимость между старшим коэффициентом данного многочлена и количеством определенных остовных деревьев в графе Зейферта исходной диаграммы. Целью доклада является подводка к возможным задачам для курсовой работы. Приглашаются все желающие.

21 июня, 15:25-17:25

Аршак Айвазьян

Единство алгебры и геометрии (продолжение)

9 июня, 16:00-18:00

Аршак Айвазьян

Единство алгебры и геометрии

В двух докладах я расскажу, какой формальный смысл можно вкладывать в слова “алгебра” и “геометрия”, и попытаюсь дать представление о естественности и продуктивности этих определений.

В том числе я расскажу конструкцию, которая связывает геометрии с некоторыми алгебраическими теориями. В частности, это воспроизводит:

* Алгебраические пространства (включающие все алгебраические многообразия как полные подкатегории)

* Голоморфные пространства (включающие комплексные многообразия как полную подкатегорию)

* Гладкие пространства (включающие гладкие многообразия как полную подкатегорию)

В отличие от поломанных, безжизненных категорий классических многообразий (не имеющих пределов/копределов/декартовой-замкнутости [то есть естественно ведущей себя структуры пространства на множестве отображений между двумя пространствами] и т.п.), возникающие пространства обладают совершенными категорными свойствами. Часто оказывается, что переход к более хорошей категории впоследствии оказывается плодотворной перспективной. Самый яркий пример этого явления — схемная революция в алгебраической геометрии (первая из упомянутых категорий — это собственно то, что известно как функториальная точка зрения Гротендика на схемы). Конечно, при этом выбор действительно удачного обобщения — всегда искусство.

На первом докладе я начну с классического определения алгебраической теории из универсальной алгебры (обычные примеры которого включают теории групп, колец, модулей и т.п.) и его инвариантной переформулировки Уильяма Ловера. Мы обсудим общие свойства алгебраических категорий и явления в них, иллюстрируя единообразие алгебры, а также опишем конструкции и связи между ними. Дальнейшая часть доклада (включая короткое введение в теорию топосов) и второй доклад будут посвящены геометрии.

19 апреля, 13:40-15:40

Матвей Магин

Краткое введение в тропическую геометрию

Тропическая геометрия возникла совсем недавно как подход, позволяющий рассматривать вместо алгебраических многообразий (в классическом понимании) их «скелеты». Это даёт возможность сводить задачи топологии алгебраических кривых и поверхностей к задачам комбинаторики и дискретной геометрии.

Мы обсудим, как появилась тропическая геометрия и почему при вырождении амёб алгебраических многообразий получаются тропические многообразия.

Кроме того, мы рассмотрим основные понятия тропической геометрии, тропические аналоги алгебро-геометрических и топологических объектов, а также несколько приложений тропических методов в классической алгебраической геометрии.

12 апреля, 15:25-17:25

Илья Алексеев

Об аналоге альтернативы Титса для группы гомеоморфизмов окружности

Классическая альтернатива Титса о строении конечно порожденных линейных групп, доказанная Жаком Титсом в 1972 году, гласит, что любая такая группа содержит либо разрешимую подгруппу конечного индекса, либо неабелеву свободную подгруппу. Она примечательна, например, тем, что является важным компонентом в доказательстве знаменитой теоремы Громова о группах полиномиального роста.
В первой части доклада мы обсудим идею доказательства альтернативы Титса, которое основано на лемме о пинг-понге.
При замене полной линейной группы на группу сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов окружности альтернатива перестаёт быть верна. В своём докладе на симпозиуме по динамическим системам, проходившем в Париже в июне 1998 года, Этьен Жис предположил, что, тем не менее, в этом случае верен определённый аналог альтернативы Титса. Простейшая версия этого аналога гласит, что если подгруппа группы сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов окружности действует на этой окружности минимально, т. е. не имеет собственных замкнутых инвариантных подмножеств, то она либо абелева и состоит из поворотов, либо содержит неабелеву свободную подгруппу. Гипотеза Жиса была доказана в 2000 году Григорием Александровичем Маргулисом.
Во второй части доклада мы обсудим основные идеи доказательства Маргулиса, которое вовлекает как лемму о пинг-понге, так и инвариантные вероятностные меры на окружности.

5 апреля, 13:40-15:40

Вячеслав Гончаров

Теорема Громова о несжимаемости

Этот доклад является продолжением моего прошлого доклада, который состоялся 15.10.22. В начале вспомним базовые понятия симплектической геометрии, а затем перейдем к наброску доказательства теоремы Громова о несжимаемости. Для этого нам нужно будет обсудить псевдо-голоморфные кривые, которые являются ключевым инструментом в доказательстве многих теорем симплектической геометрии.

29 марта, 13:40-15:40

Руслан Магдиев

Полициклические группы и поднятие геодезических слов

Доклад представляет собой обзор алгебраических и геометрических особенностей полициклических групп. На примере данного класса групп будет продемонстрирована конструкция “поднятия” геодезических слов, позволяющая алгебраически связывать группы с похожим геометрическим устройством. Идея о “поднятии” геодезических слов во многом копирует и переносит одноименную топологическую конструкцию на комбинаторный язык групп. Также в докладе будут представлены связи с изопереметрическими задачами на группах и функциями роста групп и формальных языков.

22 марта, 13:40-15:40

Игорь Басков

Алгебраическая модель dg-алгебры Сулливана полиномиальных форм

Известно, что когомологии де Рама алгебры регулярных функций гладкого алгебраического многообразия естественно изоморфны когомологиям де Рама его аналитификации. Данный результат известен как теорема сравнения Гротендика.
На предыдущем моем докладе мы обсудили, что происходит с произвольными подалгебрами алгебр непрерывных функций. Также мы кратко обсудили, что существует аналог теоремы сравнения Гротендика для алгебры кусочно-полиномиальных функций на полиэдре.
На этом докладе мы докажем аналог теоремы сравнения Гротендика для алгебры полиномиальных функций на полиэдре — результат более тонкий, чем для алгебры кусочно-полиномиальных функций. Более того, до недавнего времени этот результат считался в принципе неверным!
И еще мы посчитаем алгебраические когомологии окружности!

1 марта, 13:40-15:40

Илья Алексеев

Гомеоморфизмы поверхностей, кривые и железнодорожные пути

Мы подробно разберем пример действия некоторого гомеоморфизма проколотой сферы на (изотопических) классах простых замкнутых кривых и обсудим связанные с ним загадки. Данный пример примечателен тем, что вдохновил У. Тёрстона на открытие так называемой классификации Нильсена-Тёрстона гомеоморфизмов поверхностей и отражает большую часть богатого круга идей, окружающих этот результат.
От слушателей предполагается знакомство с базовыми понятиями двумерной топологии и линейной алгебры, хотя основные вещи мы кратко напомним.

22 февраля, 13:40-15:40

Никита Голубь

Алгебраические петли в пространствах Буземана

В докладе будут рассмотрены особый тип метрических пространств, называемых G-пространствами Буземана, и связанные с ним проблемы. Конкретно, сфокусируем внимание на гипотезе Буземана: каждое G-пространство Буземана имеет структуру топологического многообразия.
Из аксиом пространств выведем основные их свойства и докажем основной результат: у каждой точки есть шаровая окрестность, наделяющаяся структурой алгебраической петли, т. е. пространства с непрерывной бинарной операцией, удовлетворяющей всем аксиомам группы, за исключением, быть может, ассоциативности.
На основе этого результата предложим подход к гипотезе в самом общем случае.

21 февраля, 13:40-15:40

Юрий Белоусов

Группа конкордантности узлов

Два узла K_1 и K_2 называются конкордантными, если связная сумма K_1#(-K_2) является срезанным узлом. Множество классов конкордантности узлов вместе с операцией связной суммы образуют группу. В докладе мы обсудим построение этой группы, взаимосвязь между конкордантностью и другими классическими инвариантами узлов. Мы также рассмотрим некоторые важные открытые вопросы и возможные направления исследований в этой области.

28 декабря, 15:25-19:25

Алексей Миллер

Узел Конвея: инструкция по доведению до ручки

В тысяча девятьсот семидесятом году Джон Хортон Конвей замечает пару положительных мутантов с довольно незаурядными свойствами. Один из них удается достаточно быстро затянуть диском в четырехмерном шаре, но удастся ли затянуть второй? Столь же быстро становится ясно лишь то, что этот вопрос обещает оказаться по-настоящему сложным. Полувековые изыскания венчаются элегантной обструкцией за авторством Лизы Пиккирилло — узел Конвея оказывается несрезанным. Мы пройдем по следу этой истории и заглянем внутрь визуальной природы предложенного доказательства.

17 декабря, 16:00-18:00

Алексей Миллер

По-настоящему большой граф хирургий Дена

В одной неопубликованной работе Уильям Пол Торстон вводит термин “The Big Dehn Surgery Graph”. Вершинами этого графа являются замкнутые ориентируемые трехмерные многообразия, а ребро между двумя вершинами проводится тогда и только тогда, когда соответствующие многообразия могут быть получены друг из друга хирургией Дена по однокомпонентному зацеплению. Нил Хоффман и Женевьева Уэлш подробно исследовали структуру этого графа и обнаружили ряд неожиданных свойств. Целью доклада является освещение их результатов, компаративистский анализ по направлению к гордиевым графам, а также постановка ряда исследовательских вопросов. Однако предваряя переход к основному сюжету, мы подробно обсудим машинерию хирургий Дена и, в частности, докажем “the fundamental” теорему Ликориша-Уоллеса. Доклад не предполагает специальных пререквизитов.

10 декабря, 14:00-16:00

Илья Широков

Фиксационные движения глаз: расслоение Хопфа, закон Листинга, кинематика и динамика саккадических циклов

Наши глаза никогда не находятся в покое. Даже во время концентрации взора на одной точке глаза постоянно совершают так называемые фиксационные движения: дрейф, тремор и микросаккады. Роль этих движений в раннем зрении до сих пор до конца не выяснена, в то время как они, по-видимому, играют существенную роль в работе зрительной системы. На семинаре мы обсудим некоторые геометрические подходы для описания кинематики, динамики и управления фиксационными движениями глаз. В частности, я расскажу о геометрической интерпретации законов Дондерса и Листинга в терминах расслоения Хопфа трехмерной сферы над двумерной и покажу, что конфигурационное пространство глаза (когда голова зафиксирована) есть так называемая полусфера Листинга. Мы обсудим одну из моделей конфигурационного пространства двух глаз (бинокулярный случай). Основная часть доклада будет посвящена моделям саккадических циклов и дрейфа. Доклад основан на совместной работе с Д. В. Алексеевским.

3 декабря, 13:40-15:40

Дарья Аксенова

Трюки для изнаночных автоморфизмов струнных зацеплений

Обсудим класс автоморфизмов θ_n моноидов струнных зацеплений StL_n с n нитями, несколько способов его задания. Особое внимание уделим трём трюкам, на которых основаны эти конструкции. Определим более широкий класс объектов — фонарики, и расскажем про продолжение θ_n на моноид фонариков Fl_n.

26 ноября, 15:25-17:25

Юрий Белоусов

Крашеная операда меандров

Меандр — это кривая на плоскости, которая трансверсально пересекает заданную прямую в конечном числе точек. Несмотря на простое описание, этот геометрический объект оказывается очень сложным для изучения. Например, простой вопрос: сколько существует неэквивалентных меандров с заданным числом пересечений — остается открытым. Даже асимптотика этой последовательности неизвестна. В докладе мы обсудим базовые определения, связанные с меандрами, а также опишем недавно обнаруженную структуру операды на множестве меандров. В свете этой структуры особое значение приобретают так называемые неприводимые меандры, обсуждению свойств которых также будет посвящена часть доклада.

12 ноября, 11:15-12:50

Артём Семидетнов

О группах, гиперболичных по Громову

Доклад посвящен классическим результатам о гиперболических группах. Мы разберем доказательства того, что они обладают линейными функциями Дена и конечно представимы. Поговорим о том, как решаются проблемы слов и сопряженности, а также коснемся понятия изопериметрических задач в группах и научимся их линейно решать в гиперболических. Также обсудим вопрос о «количестве» гиперболических групп (мощности их множества) и теорему Громова о гиперболичности “почти всех” конечно порождённых групп.

5 ноября, 15:25-17:25

Игорь Басков

Когомологии де Рама алгебр полиномиальных функций на полиэдрах

Для коммутативной алгебры возможно определить когомологии де Рама. Теорема сравнения Гротендика говорит о том, что когомологии де Рама алгебры полиномиальных функций на гладком алгебраическом многообразии изоморфны сингулярным когомологиям его аналитификации.

При рассмотрении произвольной подалгебры A алгебры непрерывных функций изоморфизма в общем случае уже нет, но почти всегда сингулярные когомологии канонически отщепляются от когомологий де Рама алгебры A. Однако при рассмотрении различных алгебр полиномиальных функций на полиэдрах возможно доказать аналог теоремы сравнения Гротендика, что мы и сделаем на докладе. С примерами!

Доклад частично основан на статье https://arxiv.org/abs/2208.11431.

29 октября, 11:15-13:15

Илья Широков

О теоремах типа Хопфа для $f$ -соседей

Знаменитая теорема Борсука-Улама говорит о том, что для любого непрерывного отображения стандартной сферы S^n в евклидово пространство R^n найдется пара антиподов, образы которых совпадают. Таким образом, множество большого диаметра (пара антиподов) переходит в точку. Интересно, что ослабляя требование “множество большого диаметра переходит в точку” на требование “пара точек (на некотором расстоянии d) переходит в множество, удовлетворяющее некоторому свойству” и ослабляя условие на размерность пространства образа, также можно получить некоторые нетривиальные результаты. Доклад посвящен обзору таких результатов по статье https://arxiv.org/pdf/2208.13554.pdf.

22 октября, 13:40-15:40

Василий Ионин

Контактная геометрия

Сперва поговорим о распределениях на многообразиях и теореме Фробениуса, а затем обсудим базовые понятия и результаты области (теоремы Грея и Дарбу). Если позволит время, сформулируем теорему Жиру, связывающую контактные структуры с расслоенными узлами.

15 октября, 11:15-12:50

Вячеслав Гончаров

Симплектическая геометрия

Сперва поговорим о базовых понятиях и результатах области, а затем обсудим теоремы Громова о несжимаемости и о верблюде, а в конце сформулируем теорему МакДафф-Шленка.

8 октября, 13:40-15:40

Илья Алексеев

Расслоённые узлы (продолжение)

Мы разберём основной результат работы [S. Baader, C. Graf, Fibred links in S^3, doi:10.1016/j.exmath.2016.06.006], предоставляющий наглядный критерий расслоённости поверхностей Зейферта. С его помощью мы покажем, что расслоёнными являются не только торические узлы, но и произвольные замкнутые положительные косы. Кроме того, мы обсудим сопоставление расслоённому узлу соответствующего изотопического класса гомеоморфизмов его расслаивающей поверхности (“монодромия”).

1 октября, 13:40-15:40

Илья Алексеев

Расслоённые узлы

Узел называется расслоённым, если существует (локально тривиальное) расслоение над окружностью дополнения этого узла до трёхмерной сферы. Слои такого расслоения являются гомеоморфными поверхностями, непрерывно заполняющими трёхмерную сферу, а их замыкания пересекаются только по узлу. Грубо говоря, узел является расслоённым, если существует ограничивающая его поверхность, допускающая вращение вокруг этого узла. Мы подробно обсудим необходимые и достаточные условия расслоённости и увидим с разных сторон, почему расслоёнными являются все торические и другие узлы.

24 сентября, 13:40-14:40

Руслан Магдиев

Группы, действующие на корневых деревьях

В 1980х Ростислав Григорчук открыл класс групп, который дал старт теории ветвящихся (branched) групп и теории самоподобных (self-similar) групп. В этих теориях изучаются группы, ‘рекурсивно’ действующие на корневых деревья. Оказывается, данная особенность групп позволяет генерировать как и примеры, так и контрпримеры к разным гипотезам, связанным с аменабельностью, ростом и периодичностью.
Доклад будет посвящен обзору общих конструкций в данных теориях и методам доказательства субэкспоненциальности роста. Также будут рассмотрены открытые вопросы на примере самых известных самоподобных групп.

21 июня, 13:40-15:40

Василий Ионин

Новая симплициальная структура на группах кос

Чисто категорное понятие симплициального множества обобщает понятие симплициального комплекса и в некотором смысле моделирует понятие ‘хорошего’ топологического пространства. Зародившись в 50е годы прошлого века, теория симплициальных множеств довольно быстро заняла роль основного фреймворка в теории гомотопий.
На докладе мы обсудим следующие сюжеты, сопряженные с маломерной топологией:
– Конструкция Милнора симплициальной группы.
– Симплициальная структура на свободных группах и
гомотопические группы 2-сферы.
– Комплекс Мура брунновых кос.
– Группа классов отображений проколотой сферы и автоморфизмы групп крашеных кос.
– Новая симплициальная структура на коммутантах групп крашеных кос и неожиданные импликации.
Пререквизиты: базовая теория групп и алгебраическая топология (гомотопические группы).

9 июня, 13:40-15:40

Вячеслав Гончаров

Числа Гурвица и пространства модулей

Поговорим о том, что такое числа Гурвица. Введем понятие орбифолда и рассмотрим конкретную конструкцию — пространство модулей. В конце обсудим ELSV-формулу, которая связывает пространства модулей и числа Гурвица.

23 мая, 13:40-15:40

Игорь Басков

Гамма-модули алгебр непрерывных функций ленты Мёбиуса и цилиндра

Каждой коммутативной k-алгебре A можно сопоставить объект, состоящий из k-векторных пространств, называемый комплексом Лодэя или Гамма-модулем алгебры A. Для топологического пространства рассмотрим комлекс Лодэя, отвечающий его алгебре вещественных непрерывных функций C(X). Для гладкого многообразия X мы рассмотрим алгебру вещественных гладких функций C^\infty(X).
Мы построим изоморфизм Гамма-модулей алгебр непрерывных функций для двух негомеоморфных пространств (цилиндра и ленты Мебиуса). Также мы покажем, как из Гамма-модуля алгебры C^r(X) (r=0 или \infty) естественным образом восстанавливаются когомологии де Рама алгебры C^r(X) и как эти когомологии связаны с когомологиями пространства X.

16 мая, 13:40-15:40

Даниил Нигомедьянов

Теория сложности трёхмерных многообразий с точки зрения специальных спайнов

Триангуляционная сложность трёхмерных многообразий — наименьшее число тетраэдров среди всех триангуляций данного многообразия. Она является важнейшим инвариантом 3-многообразий, однако установить её точное значение очень непросто.
Совместно с Евгением Анатольевичем Фоминых нами была получена новая нижняя оценка на триангуляционную сложность и описан класс 3-многообразий, для которого эта оценка является точной.
На семинаре предлагается разобрать доказательство этого результата с использованием языка специальных спайнов (двойственных объектов к триангуляциям), а также дать конструктивное описание нескольких бесконечных серий 3-многообразий, для которых нижняя оценка достигается.

2 мая, 13:40-15:40

Алексей Миллер

Поведение гордиевых графов на бесконечности

Доклад посвящён решению задачи о вычислении количества концов гордиева графа преобразования “переключение перекрестка”, поставленной Жан-Марком Гамбоду и Этьеном Жисом в 2005 году. Мы обсудим предпосылки к исследованию поведения графов на бесконечности, место этой задачи в теории преобразований узлов и различные вариации её постановки, после чего приведем рассуждение, позволяющее описать концы не только гордиева графа “переключения перекрестка”, но и графа произвольного рационального преобразования. Кроме того, мы кратко обозрим теорию рациональных тенглов, теорию разветвленных накрывающих пространств и их гомологии, перестройки трёхмерных многообразий и различные связанные результаты о гордиевых графах. Наконец, предполагается обсудить некоторые дальнейшие гипотезы о количествах концов и других глобальных инвариантах гордиевых графов, а также презентовать открытые задачи.

18 апреля, 13:40-15:40

Илья Алексеев

Новое свойство положительных узлов

Зачастую геометрические свойства узлов и зацеплений находятся в прямом соответствии с алгебраическими свойствами их полиномиальных инвариантов (например, многочленов Александера, Конвея и других). Доклад посвящен описанию наглядного геометрического свойства, отвечающего максимальности (с точки зрения оценки Мортона — Фрэнкса — Уильямса) ширины многочлена HOMFLY-PT зацепления, представленного положительной диаграммой. Если позволит время, мы обсудим возникающие в этом направлении открытые вопросы.

11 апреля, 13:40-15:40

Артём Семидетнов

О случайных блужданиях на группах

В докладе будет представлено введение в теорию случайных блужданий на группах без погружения в технические детали. Будет сделан акцент на граничном подходе — анализе случайных блужданий на основе их поведения на бесконечности. Предполагается знакомство с базовыми понятиями теории меры.

4 апреля, 13:40-15:40

Аршак Айвазьян

Общая точка зрения на некоторые основные понятия современной геометрии

В докладе я дам обзор следующих понятий и связей между ними: главные G-расслоения, G-структуры, классифицирующие пространства, теории характеристических классов, обобщенные теории когомологий, спектры, бесконечнократные пространства петель, операды. Опишу классические примеры категорий G-структур (изучение которых фактически составляет основные разделы современной геометрии), обобщенных теорий когомологий и теорий характеристических классов (которые до открытия классиками общей точки зрения были известны под совершенно разными именами). Кроме того я поделюсь естественной общей точкой зрения на G-структуры и обобщенные теорий когомологий (последнее обобщение включает также ковариантные инварианты такие как гомотопические группы).
Пререквезиты: азы дифференциальной и алгебраической топологии; язык теории категорий (для понимания некоторых замечаний также необходимо быть знакомым с понятием локально-окольцованного пространства)

28 марта, 13:40-15:40

Руслан Магдиев

Новые результаты о геодезическом росте групп

Доклад посвящён вопросу существования групп промежуточного геодезического роста. Функцией геодезического роста группы с фиксированным порождающим множеством называется сопоставление натуральному числу n количества начинающихся в нейтральном элементе геодезических кривых длины n в соответствующем графе Кэли. Данное определение аналогично определению функции роста, которая вычисляет количество элементов группы, находящихся в графе Кэли на расстоянии n от нейтрального элемента.

В 1984 году Ростислав Григорчук построил примеры групп, рост которых быстрее любого полинома, но медленнее экспоненты, — групп промежуточного роста. При всем этом до сих пор неизвестно, существуют ли группы, имеющие промежуточный геодезический рост, так как условия на геодезический рост оказываются куда сильнее условий на рост группы. Так, например, полиномиальность геодезического роста говорит о том, что группа — виртуально нильпотентная, а её абелианизация — виртуально циклическая.

Доклад представляет собой обзор самых свежих результатов, касающихся вопросов о геодезическом росте. Также будет представлен пример группы, геодезический рост которой может оказаться промежуточным.

23 марта, 13:40-15:40

Никита Голубь

Эквивариантные пучки, действия групп и гомологические характеристики многообразий (продолжение)

В докладе будут приведены первоначальные результаты в теории эквивариантных пучков и их приложения к задачам, возникающим в связи с действиями топологических групп на различных классах пространств.

Будет введено понятие точности таких действий и с каждым пучком на пространстве будет ассоциирован новый, эквивариантный относительного данного действия. Будет показано, что любое действие конечной группы на метризуемом пространстве является точным и что для точных действий когомологии ассоциированного пучка совпадают с когомологиями изначального. Также будет указан ряд гомологических следствий точности действия.

Наконец, мы обсудим возможность применения данного формализма к обнаружению потенциальных контрпримеров к гипотезе Гильберта — Смита.

15 марта, 17:10-19:00

Никита Голубь

Эквивариантные пучки, действия групп и гомологические характеристики многообразий

15 декабря, 17:10-19:00

Илья Алексеев

Инварианты узлов и кос из четырёхмерной топологии

Целью доклада является демонстрация элементарных применений инструментов четырёхмерной топологии в классической теории узлов. Следуя работе P. Feller, D. Hubbard — “Braids with as many full twists as strands realize the braid index” (https://arxiv.org/abs/1708.04998), мы научимся строить квазиморфизмы на группах кос по липшицевым вещественнозначным гомоморфизмам на группе классов конкордантности узлов.

7 декабря, 19:00-20:30

Алексей Миллер

Мошенничество Мазура-Эйленберга

В шахматном английском, помимо “traps” и “pitfalls”, для обозначения ловушек иногда используют слово “swindle”. Ловушка-swindle — это последний шанс, неожиданно и элегантно выводящий игрока из откровенно проигрышной позиции к победе или ничьей. Именно это значение удивительно точно подчеркивает суть приема “Eilenberg-Mazur swindle” (хотя, конечно, трактовка “swindle”=”мошенничество” также имеет с этим значением некие глубинные корреляции). Мы увидим ряд никак не связанных друг с другом вопросов из разных разделов математики, в основе доказательства которых лежит один и тот же принцип классической математической шутки-ошибки. Помимо прочего, более подробно мы остановимся на истории открытия мошенничеством Мазура-Эйленберга дороги к изучению топологии старших размерностей и судьбе теоремы Шёнфлиса.

30 ноября, 17:00-18:30

Юрий Белоусов

Геометрическое разложение меандров

Меандр — это кривая на плоскости, которая трансверсально пересекает заданную прямую в конечном числе точек. Существует глубокая связь между меандрами, алгеброй Темперли-Либа, моделями статистической физики и пространствами модулей комплексных кривых. Несмотря на высокий интерес к этой сфере, центральные вопросы — количество меандров с заданным количеством пересечений, а также асимптотика этих чисел — до сих пор остаются открытыми. Мы собираемся обсудить некоторые основные факты о меандрах, в частности проблему их перечисления. Мы также опишем недавно обнаруженное геометрическое разложение меандров на неприводимые компоненты. Это разложение приводит нас к новому подходу к проблеме перечисления меандров.

19 октября, 17:10-19:10

Михаил Чернавских, Алтан Эрднигор

Триангуляции RP^2, в направлении Тёрстона

В статье W. Thurston «Shapes of polyhedra and triangulations of the sphere» изучаются локально плоские метрики с коническими особенностями с неотрицательной кривизной на двумерной сфере. К примеру, любой выпуклый многогранник доставляет пример такой метрики. Thurston исследует многообразие модулей $\mathcal M$ таких метрик, его пополнение, а также выделяет отдельный класс метрик, берущихся из триангуляций сферы одинаковыми правильными треугольниками. Оказывается, $\mathcal M$ имеет структуру комплексного гиперболического многообразия, а триангуляции играют роль целых точек в нём. Мы расскажем об этой работе, своих попытках расширить её результаты на $\mathbb R \mathbb P^2$ , а также упомянем некоторые приложения.

6 октября, 17:10-19:10

Даниил Нигомедьянов

Разложение Коджимы гиперболических 3-многообразий (продолжение)

Доклад основан на статье “Polyhedral Decomposition of Hyperbolic 3-Manifolds with Totally Geodesic Boundary” японского математика Sadayoshi Kojima. На семинаре мы разберём формулировки основного результата статьи, окунёмся в фантастический мир гиперболической геометрии, а также посмотрим на пару наглядных и красивых доказательств.

29 сентября, 17:10-19:10

Михаил Михайлов, Василий Ионин, Илья Алексеев

Автоморфизмы групп крашеных кос и гомотопические группы сфер (продолжение)

Доклад посвящен рассказу о новом аспекте известной связи между косами с n нитями и сфероидами — отображениями из n-мерной сферы S^n в S^2.
Коса называется брунновой, если все косы, получающиеся из неё удалением любой струны, тривиальны. Известная, но загадочная конструкция позволяет сопоставить брунновым косам сфероиды. Например, трёхниточная коса, замыкающаяся в кольца Борромео, соответствует знаменитому расслоению Хопфа.
Это сопоставление сохраняет алгебраические структуры в следующем смысле. На множествах кос с фиксированным количеством нитей определена операция умножения, превращающая их в группы. Оказывается, умножение брунновых кос соответствует связному суммированию сфероидов. Группы сфероидов известны как гомотопические группы двумерной сферы S^2.
В совместной работе мы обнаружили, что это сопоставление индуцирует алгебраические симметрии. А именно, всем автоморфизмам групп крашеных кос соответствуют автоморфизмы гомотопических групп. Например, наши вычисления показали, что «новый автоморфизм», которому были посвящены предыдущие доклады на семинаре, “зеркально обращает” расслоение Хопфа. Работа проводилась на «Летней исследовательской программе студентов».
Предварительных знаний не предполагается — рассказ рассчитан на широкую аудиторию.

22 сентября, 17:10-19:10

Михаил Михайлов, Василий Ионин, Илья Алексеев

Автоморфизмы групп крашеных кос и гомотопические группы сфер

15 сентября, 17:10-19:10

Даниил Нигомедьянов

Разложение Коджимы гиперболических 3-многообразий

29 апреля, 17:10-19:10

Даша Аксенова

Все автоморфизмы групп крашеных кос продолжаются на моноиды струнных зацеплений

Рассказ посвящен исследованию моноидов StL_n струнных зацеплений с n нитями и содержащихся в них групп крашеных кос P_n.
Центральным объектом повествования является серия автоморфизмов этих моноидов, определения которых основаны на нескольких красочных топологических конструкциях.
Исключительность этой серии обусловлена тем, что их ограничения на подгруппы крашеных кос дополняют автоморфизм-отражение, внутренние и центральные автоморфизмы до порождающего множества Aut(P_n).
Последние автоморфизмы имеют прозрачный геометрический смысл, который ярко контрастирует с конструкцией новых автоморфизмов.
Основной целью рассказа является изложение этой конструкции и, как следствие, доказательство возможности продолжения всех автоморфизмов групп крашеных кос на моноиды струнных зацеплений.

22 апреля, 17:10-19:10

Алексей Миллер

Новые вопросы в теории Гордиевых графов (продолжение)

15 апреля, 17:10-19:10

Алексей Миллер

Новые вопросы в теории Гордиевых графов

8 апреля, 17:10-19:10

Никита Башаев

Топография базисов и представимость целых чисел квадратичными формами

1 апреля, 17:10-19:10

Даня Мамаев

Конфигурационные пространства шарнирных механизмов

Шарнирный механизм L — это несколько палок, концы которых соединены в связную конструкцию шарнирным соединением (в простейшем случае идеальным сферическим). Конфигурационное пространство M_d(L) такого механизма — это множество его существенно разных положений в евклидовом пространстве фиксированной размерности d.
Будет рассказано про разные структуры, которые возникают на конфигурационных пространствах шарнирных механизмов (гладкая, симплектическая, …) и про связь конфигурационных пространств с другими геометрическими объектами (компактификации пространств модулей, универсальность среди гладких многообразий, …).
Если останется время, то мы применим связи и структуры из предыдущего абзаца для вычисления чисел Бетти и описания умножения в кольце когомологий конфигурационных пространств шарнирных n-угольников на плоскости и в пространстве.

25 марта, 17:10-19:10

Илья Алексеев

Заузленные поверхности в четырёхмерном пространстве (продолжение)

18 марта, 17:10-19:10

Илья Алексеев

Заузленные поверхности в четырёхмерном пространстве (продолжение)

11 марта, 17:10-19:10

Илья Алексеев

Заузленные поверхности в четырёхмерном пространстве

Целью рассказа является введение так называемого кобордизм-расстояния на множестве узлов и зацеплений. Для этого будут описаны основные способы визуализации подмножеств пространства R^4. В качестве иллюстрации будет рассказано о ленточных узлах, связывающих четырёхмерную топологию с классической теорией узлов, и о так называемых двумерных узлах, представляющих собой изотопические классы вложений сферы S^2 в R^4. Рассказ будет сопровождаться открытыми вопросами и панорамными взглядами на соответствующие разделы маломерной топологии.

4 марта, 17:10-19:10

Даниил Нигомедьянов

Зоопарк 3-многообразий и триангуляционная сложность

На семинаре будут обсуждаться вопросы маломерной топологии, связанные с задачей классификации 3-многообразий с краем. Топологические 3-многообразия с краем можно задавать при помощи идеальных триангуляций, однако это соответствие не биективное. В попытке установить каноническое соответствие между 3-многообразиями и идеальными триангуляциями будет введено понятие сложности и минимальных триангуляций. Откуда естественным образом возникнет задача вычисления сложности 3-многообразий.

Будет построена новая нижняя оценка сложности при помощи Z_2-гомологий, найдена бесконечная серия 3-многообразий, для которых эта оценка точна, описаны минимальные триангуляции этих многообразий и поставлен вопрос об их гиперболичности. Ключевые понятия: трёхмерные многообразия с краем; идеальные триангуляции; теория сложности 3-многообразий; Z_2-гомологии; специальные спайны; гиперболичность.

26 декабря, 15:25-17:25

Илья Алексеев

Косовские монодромии разветвлённых накрытий поверхностей (продолжение)

19 декабря, 15:25-17:25

Илья Алексеев

Косовские монодромии разветвлённых накрытий поверхностей

На занятии будет рассказано о топологии полиномиальных отображений комплексной плоскости. Мы научимся сопоставлять каждому многочлену древовидную картинку на плоскости, которая отражает его топологические свойства. Каждому многочлену степени N мы сопоставим подгруппу в группе кос Артина с N нитями, которая называется его группой косовских монодромий. Её образ в симметрической группе изоморфен группе монодромий — одному из центральных объектов топологической теории Галуа. Будет сформулировано несколько нерешённых задач. Кроме того, будет приведено элементарное доказательство того, что если количество различных критических значений многочлена на единицу меньше его степени, то группа косовских монодромий такого многочлена совпадает со всей группой кос (см. https://arxiv.org/abs/2008.05187 для доказательства этого факта с использованием алгебро-геометрического подхода).

12 декабря, 15:25-17:25

Дарья Аксенова

Автоморфизмы моноидов струнных зацеплений (продолжение)

5 декабря, 15:25-17:25

Дарья Аксенова

Автоморфизмы моноидов струнных зацеплений

Будет рассказано о моноидах (крашеных) струнных зацеплений SL_n, которые содержат в качестве подгрупп группы крашеных кос PB_n, и о новых автоморфизмах θ_n моноидов SL_n. Определение автоморфизмов θ_n носит топологический характер. Ограничения θ_n на группы PB_n могут быть заданы на стандартных образующих этих групп явными формулами. В частности, будут обсуждаться исследовательские вопросы, связанные с этими автоморфизмами.

28 ноября, 15:25-17:25

Руслан Магдиев

Геометрия многообразия NIL (продолжение)

21 ноября, 15:25-17:25

Руслан Магдиев

Геометрия многообразия NIL

Будет рассказано об одном из восьми односвязных трёхмерных римановых многообразий, входящих в список идеальных геометрий, которые фигурируют в геометризационной гипотезе Тёрстона, доказанной Перельманом. Вышеупомянутое риманово многообразие гомеоморфно трёхмерному евклидовому пространству и наделяется структурой группы Ли, называемой (непрерывной) группой Гейзенберга.

16 ноября, 17:00-19:00

Алексей Кривовичев

Универсальные диаграммы узлов

Будет описан результат, представленный в работе [S. Yamada, The minimal number of Seifert circles equals the braid index of link, Invent. Math. 891 (1987), 347–356]. Кроме того, будут предложены открытые вопросы, связанные с этим результатом.

7 ноября, 15:25-17:25

Ильнур Байбулов

Введение в теорию виртуальных узлов

Будет описано соответствие между диаграмматическим представлением виртуальных узлов и классами эквивалентности вложенных в утолщённые поверхности классических узлов.

2 ноября, 17:00-18:00

Илья Алексеев

О феномене зрительной распознаваемости некоторых свойств узлов

Будет рассказано о феномене в теории узлов, который заключается в том, что некоторые зрительно распознаваемые свойства диаграмм гарантируют наличие тех или иных топологических и геометрических свойств соответствующих узлов и зацеплений. Особое внимание будет уделено свойству минимальности (по количеству перекрёстков) диаграмм. В частности, мы обсудим (доказанные) гипотезы Тейта об альтернированных узлах, перспективу обобщения соответствующих результатов на однородные узлы и зацепления, а также результаты, представленные в работе https://arxiv.org/abs/2012.04330. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 19-11-00151).

24 октября, 15:25-17:25

Алексей Миллер

Открытые вопросы в теории графов преобразований узлов

Будут обсуждаться предложения по исследовательским направлениям, связанным с Гордиевыми графами преобразований.

17 октября, 14:15-15:15

Алексей Миллер

Графы преобразований узлов (продолжение)

17 октября, 13:40-14:15

Александр Захаров

Геометрическая теория узлов и интегральные инварианты (продолжение)

10 октября, 16:25-17:00

Александр Захаров

Геометрическая теория узлов и интегральные инварианты

Будет описана связь между теорией узлов и интегральной геометрией. Отправной точкой рассказа является Теорема Фари-Милнора. Будет рассмотрено несколько инвариантов узлов, определяемых в терминах интегрирования разных величин по кривым-представителям данного узла. Один из таких инвариантов («число мостов») был введён Милнором под названием «crookedness»‎. Другой пример известен под названием «‎индекс косы»‎. Оба инварианта допускают эквивалентные определения в элементарных комбинаторных терминах. В докладе будет описана серия новых инвариантов, обобщающих первый и второй. Одной из основных задач исследования является доказательство или опровержение аддитивности (относительно связного суммирования узлов) инвариантов из этой серии. Аддитивность числа мостов и индекса косы хорошо известна. Ожидается, что с помощью нового взгляда на эти инварианты удастся получить элементарное доказательство аддитивности индекса косы.

10 октября, 15:25-16:25

Алексей Миллер

Графы преобразований узлов

Будут описаны основы теории Гордиевых графов преобразований узлов. Особое внимание будет уделено локальным преобразованиям. В качестве демонстрации будет показано, как инвариантность количества правильных раскрасок диаграмм в три цвета применима для доказательства несвязности тех или иных Гордиевых графов.

5 октября, 17:10-18:45

Илья Алексеев

Актуальные исследовательские направления в маломерной топологии

Будут обсуждаться исследовательские задачи, предложенные участниками семинара.