‎Семинар по арифметике

Николай Борозенец

Девиация комбинаторных характеристик Дайсона и Гарвана-Эндрюса по модулю 11

На докладе обсудим базовые примеры модулярных форм, изучим как выводить их модулярное свойство, посчитаем размерность соответствующих конечномерных пространств.

Сергей Архипов

Целые квадратичные формы с дискриминантом +-1 (продолжение)

Я начну лекцию с не доказанного факта про равенство дискриминантов, при совпадении индексов, потом расскажу про группу K(S), после этого мы сформулируем много структурных теорем (в том числе поймем, что на самом деле K(S) выглядит очень просто) и даже что-то из них докажем.

Сергей Архипов

Целые квадратичные формы с дискриминантом +-1

Я буду рассказывать про целые квадратичные формы с дискриминантом, по модулю равным 1. Очевидно, что это более сложный объект, чем квадратичные формы над Q и тем более, чем над Q_p или R (сложности начинаются уже в том месте, когда мы говорим, какие формы эквивалентны, так над полем форму всегда можно привести к диагональному виду, а над Z — нет). Начнем с простейших инвариантов, а потом перейдем к группе Гротендика K(S) (S — категория всех целых квадратичных форм) и, если успеем, обсудим структурные теоремы.

Матвей Магин

Всё, что вы хотели знать про лемму Гензеля

В следующий понедельник нас ожидает продолжение и развитие темы предыдущего доклада, которое будет посвящено в основном нулям многочленов и квадратичных форм над Q_{p} и закрытию оставшихся долгов.

Матвей Магин

Локальные и глобальные свойства символа Гильберта

Широко известен фундаментальный результат о том, что рациональная квадратичная форма F(x_1, \ldots, x_n) представляет нуль над полем рациональных чисел тогда и только тогда, когда она представляет нуль над полем вещественных чисел (то есть является неопределённой) и над полем \Q_{p} p-адических чисел для любого простого p (принцип Минковского-Хассе). Но, к сожалению, по-началу не очень ясно, как проверять, что форма представляет нуль над полем p-адических чисел, ведь устройство p-адических полей далеко нетривиально неискушенному читателю.

Оказывается, существуют весьма эффективные (по части вычислений) методы выяснения того, представляет ли нуль данная рациональная квадратичная форма, и эти методы используют понятия  символа Гильберта. Мы поговорим о локальных свойствах символа Гильберта, существенно упрощающих его вычисления, а также обсудим его глобальное свойство и его связь с квадратичным законом взаимности. Кроме того, само собой, мы сформулируем критерий того, что рациональная квадратичная форма представляет нуль над полем \Q_{p} в терминах символа Гильберта, тем самым, закрыв вопрос проверки того, что рациональная квадратичная форма представляет нуль над полем \Q.

Отмечу, что необходимые факты про квадратичные формы над \Q_{p} также будут приведены (т.е. не являются пререквизитами к докладу).

Кирилл Ладный

P-адические числа, теорема Островского

В связи с теоремой Островского (1916 г.), утверждающей, что любое нетривиальное нормирование на Q эквивалентно либо вещественному, либо p-адическому нормированию, важно понимать устройство адических сущностей, перенести известные конструкции на них, сравнить свойства перенесенных объектов с ожидаемыми. Поговорим про особенности адических колец и полей: ряды, сходимости, топология. Установим точный вид мультипликативной группы адического поля.
Вишенкой на торте окажется пробежка по работе Г.Б. Шабата об адической (адельной) динамике логистического отображения. Поймем, что мера хаотичности (топологическая энтропия) в этом случае ограничена.

Иван Васильев

Уравнения над конечными полями. Теорема Варнинга-Шевалле

Доклад будет частично основан на 1 главе книги «Курс арифметики» Ж.-П. Серра, а именно будут напомнены основные вещи из теории конечных полей, рассказано о теоремах Шевалле и Варнинга, а также доказан Квадратичный закон взаимности при помощи метода Гауссовых сумм. В дополнение будут рассказаны некоторые свойства Гауссовых сумм и оценки на количество решений уравнений над конечными полям.