‎Low-dimensional topology student seminar

The organizers of the seminar strive to unite people who are interested in various sections of low-dimensional topology. One of the main goals of the seminar is engaging research participants in exciting discussions followed by flights of fantasies, leading to both the generations of specific problems and ways of their solution. In the understanding of the organizers of the seminar, low-dimensional topology includes such aspects of the theory of surfaces, three-dimensional manifolds, and knots as complexity measures, geometric and combinatorial structures, Thurston classification, polynomial invariants and finite order invariants, surgery, branched coverings, configuration spaces, mapping class groups, and others. We would like to organize not so much an overview seminar, but rather classes in which everyone interested in research areas related to the topics proposed above could familiarize themselves with the context in the research and join it.

To participate in the seminar activities, please contact Ilya Alexeev. You can also use this link to join the mailing list of the seminar.

Seminar addresses: room 104, zoom channel ID 812-916-426. If you do not know the password, please write an email to Ilya Alekseev.

 

Организаторы семинара стремятся объединить людей, интересующихся теми или иными аспектами маломерной топологии. Одной из основных целей семинара является проведение обсуждений захватывающих участников исследовательских направлений, за которыми следуют полеты фантазий, приводящие как к генерации конкретных задач, так и к их решениям. В понимании организаторов семинара, маломерная топология включает в себя такие аспекты теории поверхностей, теории трёхмерных многообразий и теории узлов, как: меры сложности, геометрические и комбинаторные структуры, тёрстоновская классификация, полиномиальные инварианты и инварианты конечного порядка, хирургии, разветвлённые накрытия, конфигурационные пространства, группы классов отображений и другие. Хотелось бы организовать не столько обзорный семинар, сколько занятия, на которых все желающие, которым интересны исследовательские направления, касающиеся предлагаемых выше тем, могли бы ознакомиться с контекстом и присоединиться к актуальным исследованиям.

 

Видеозаписи прошедших заседаний: ссылка.
Стенограмма заседаний: ссылка.
Telegram канал: ссылка.
Для участия в мероприятиях семинара обращайтесь к Илье Алексееву. Вы также можете использовать эту ссылку, чтобы подписаться на рассылку семинара.
Адрес: 14 линия В.О., дом 29Б, аудитория 104.
Zoom канал: ID 812-916-426, пароль стандартный (его можно спросить у Ильи Алексеева).

Forcoming talks

22 сентября, 17:10-19:10

Михаил Михайлов, Василий Ионин, Илья Алексеев

Автоморфизмы групп крашеных кос и гомотопические группы сфер

Доклад посвящен рассказу о новом аспекте известной связи между косами с n нитями и сфероидами — отображениями из n-мерной сферы S^n в S^2.
Коса называется брунновой, если все косы, получающиеся из неё удалением любой струны, тривиальны. Известная, но загадочная конструкция позволяет сопоставить брунновым косам сфероиды. Например, трёхниточная коса, замыкающаяся в кольца Борромео, соответствует знаменитому расслоению Хопфа.
Это сопоставление сохраняет алгебраические структуры в следующем смысле. На множествах кос с фиксированным количеством нитей определена операция умножения, превращающая их в группы. Оказывается, умножение брунновых кос соответствует связному суммированию сфероидов. Группы сфероидов известны как гомотопические группы двумерной сферы S^2.
В совместной работе мы обнаружили, что это сопоставление индуцирует алгебраические симметрии. А именно, всем автоморфизмам групп крашеных кос соответствуют автоморфизмы гомотопических групп. Например, наши вычисления показали, что «новый автоморфизм», которому были посвящены предыдущие доклады на семинаре, “зеркально обращает” расслоение Хопфа. Работа проводилась на «Летней исследовательской программе студентов».
Предварительных знаний не предполагается — рассказ рассчитан на широкую аудиторию.

Past talks

15 сентября, 17:10-19:10

Даниил Нигомедьянов

Разложение Коджимы гиперболических 3-многообразий

Доклад основан на статье “Polyhedral Decomposition of Hyperbolic 3-Manifolds with Totally Geodesic Boundary” японского математика Sadayoshi Kojima. На семинаре мы разберём формулировки основного результата статьи, окунёмся в фантастический мир гиперболической геометрии, а также посмотрим на пару наглядных и красивых доказательств.

29 апреля, 17:10-19:10

Даша Аксенова

Все автоморфизмы групп крашеных кос продолжаются на моноиды струнных зацеплений

Рассказ посвящен исследованию моноидов StL_n струнных зацеплений с n нитями и содержащихся в них групп крашеных кос P_n.
Центральным объектом повествования является серия автоморфизмов этих моноидов, определения которых основаны на нескольких красочных топологических конструкциях.
Исключительность этой серии обусловлена тем, что их ограничения на подгруппы крашеных кос дополняют автоморфизм-отражение, внутренние и центральные автоморфизмы до порождающего множества Aut(P_n).
Последние автоморфизмы имеют прозрачный геометрический смысл, который ярко контрастирует с конструкцией новых автоморфизмов.
Основной целью рассказа является изложение этой конструкции и, как следствие, доказательство возможности продолжения всех автоморфизмов групп крашеных кос на моноиды струнных зацеплений. 

22 апреля, 17:10-19:10

Алексей Миллер

Новые вопросы в теории Гордиевых графов (продолжение)

 

15 апреля, 17:10-19:10

Алексей Миллер

Новые вопросы в теории Гордиевых графов

 

8 апреля, 17:10-19:10

Никита Башаев

Топография базисов и представимость целых чисел квадратичными формами

 

1 апреля, 17:10-19:10

Даня Мамаев

Конфигурационные пространства шарнирных механизмов

Шарнирный механизм L — это несколько палок, концы которых соединены в связную конструкцию шарнирным соединением (в простейшем случае идеальным сферическим). Конфигурационное пространство M_d(L) такого механизма — это множество его существенно разных положений в евклидовом пространстве фиксированной размерности d.
Будет рассказано про разные структуры, которые возникают на конфигурационных пространствах шарнирных механизмов (гладкая, симплектическая, …) и про связь конфигурационных пространств с другими геометрическими объектами (компактификации пространств модулей, универсальность среди гладких многообразий, …).
Если останется время, то мы применим связи и структуры из предыдущего абзаца для вычисления чисел Бетти и описания умножения в кольце когомологий конфигурационных пространств шарнирных n-угольников на плоскости и в пространстве.  

25 марта, 17:10-19:10

Илья Алексеев

Заузленные поверхности в четырёхмерном пространстве (продолжение)

 

18 марта, 17:10-19:10

Илья Алексеев

Заузленные поверхности в четырёхмерном пространстве (продолжение)

 

11 марта, 17:10-19:10

Илья Алексеев

Заузленные поверхности в четырёхмерном пространстве

Целью рассказа является введение так называемого кобордизм-расстояния на множестве узлов и зацеплений. Для этого будут описаны основные способы визуализации подмножеств пространства R^4. В качестве иллюстрации будет рассказано о ленточных узлах, связывающих четырёхмерную топологию с классической теорией узлов, и о так называемых двумерных узлах, представляющих собой изотопические классы вложений сферы S^2 в R^4. Рассказ будет сопровождаться открытыми вопросами и панорамными взглядами на соответствующие разделы маломерной топологии.

 

4 марта, 17:10-19:10

Даниил Нигомедьянов

Зоопарк 3-многообразий и триангуляционная сложность

На семинаре будут обсуждаться вопросы маломерной топологии, связанные с задачей классификации 3-многообразий с краем. Топологические 3-многообразия с краем можно задавать при помощи идеальных триангуляций, однако это соответствие не биективное. В попытке установить каноническое соответствие между 3-многообразиями и идеальными триангуляциями будет введено понятие сложности и минимальных триангуляций. Откуда естественным образом возникнет задача вычисления сложности 3-многообразий. 
Будет построена новая нижняя оценка сложности при помощи Z_2-гомологий, найдена бесконечная серия 3-многообразий, для которых эта оценка точна, описаны минимальные триангуляции этих многообразий и поставлен вопрос об их гиперболичности. Ключевые понятия: трёхмерные многообразия с краем; идеальные триангуляции; теория сложности 3-многообразий; Z_2-гомологии; специальные спайны; гиперболичность.

 

26 декабря, 15:25-17:25

Илья Алексеев

Косовские монодромии разветвлённых накрытий поверхностей (продолжение)

 

19 декабря, 15:25-17:25

Илья Алексеев

Косовские монодромии разветвлённых накрытий поверхностей

 На занятии будет рассказано о топологии полиномиальных отображений комплексной плоскости. Мы научимся сопоставлять каждому многочлену древовидную картинку на плоскости, которая отражает его топологические свойства. Каждому многочлену степени N мы сопоставим подгруппу в группе кос Артина с N нитями, которая называется его группой косовских монодромий. Её образ в симметрической группе изоморфен группе монодромий — одному из центральных объектов топологической теории Галуа. Будет сформулировано несколько нерешённых задач. Кроме того, будет приведено элементарное доказательство того, что если количество различных критических значений многочлена на единицу меньше его степени, то группа косовских монодромий такого многочлена совпадает со всей группой кос (см. https://arxiv.org/abs/2008.05187 для доказательства этого факта с использованием алгебро-геометрического подхода).

12 декабря, 15:25-17:25

Дарья Аксенова

Автоморфизмы моноидов струнных зацеплений (продолжение)

 

5 декабря, 15:25-17:25

Дарья Аксенова

Автоморфизмы моноидов струнных зацеплений

Будет рассказано о моноидах (крашеных) струнных зацеплений SL_n, которые содержат в качестве подгрупп группы крашеных кос PB_n, и о новых автоморфизмах θ_n моноидов SL_n. Определение автоморфизмов θ_n носит топологический характер. Ограничения θ_n на группы PB_n могут быть заданы на стандартных образующих этих групп явными формулами. В частности, будут обсуждаться исследовательские вопросы, связанные с этими автоморфизмами.

 

28 ноября, 15:25-17:25

Руслан Магдиев

Геометрия многообразия NIL (продолжение)

 

21 ноября, 15:25-17:25

Руслан Магдиев

Геометрия многообразия NIL

Будет рассказано об одном из восьми односвязных трёхмерных римановых многообразий, входящих в список идеальных геометрий, которые фигурируют в геометризационной гипотезе Тёрстона, доказанной Перельманом. Вышеупомянутое риманово многообразие гомеоморфно трёхмерному евклидовому пространству и наделяется структурой группы Ли, называемой (непрерывной) группой Гейзенберга. 

16 ноября, 17:00-19:00

Алексей Кривовичев

Универсальные диаграммы узлов

Будет описан результат, представленный в работе [S. Yamada, The minimal number of Seifert circles equals the braid index of link, Invent. Math. 891 (1987), 347–356]. Кроме того, будут предложены открытые вопросы, связанные с этим результатом. 

7 ноября, 15:25-17:25

Ильнур Байбулов

Введение в теорию виртуальных узлов

Будет описано соответствие между диаграмматическим представлением виртуальных узлов и классами эквивалентности вложенных в утолщённые поверхности классических узлов.

2 ноября, 17:00-18:00

Илья Алексеев

О феномене зрительной распознаваемости некоторых свойств узлов

Будет рассказано о феномене в теории узлов, который заключается в том, что некоторые зрительно распознаваемые свойства диаграмм гарантируют наличие тех или иных топологических и геометрических свойств соответствующих узлов и зацеплений. Особое внимание будет уделено свойству минимальности (по количеству перекрёстков) диаграмм. В частности, мы обсудим (доказанные) гипотезы Тейта об альтернированных узлах, перспективу обобщения соответствующих результатов на однородные узлы и зацепления, а также результаты, представленные в работе https://arxiv.org/abs/2012.04330. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 19-11-00151).

24 октября, 15:25-17:25

Алексей Миллер

Открытые вопросы в теории графов преобразований узлов

Будут обсуждаться предложения по исследовательским направлениям, связанным с Гордиевыми графами преобразований.

17 октября, 14:15-15:15

Алексей Миллер

Графы преобразований узлов (продолжение)

 

17 октября, 13:40-14:15

Александр Захаров

Геометрическая теория узлов и интегральные инварианты (продолжение)

 

10 октября, 16:25-17:00

Александр Захаров

Геометрическая теория узлов и интегральные инварианты

Будет описана связь между теорией узлов и интегральной геометрией. Отправной точкой рассказа является Теорема Фари-Милнора. Будет рассмотрено несколько инвариантов узлов, определяемых в терминах интегрирования разных величин по кривым-представителям данного узла. Один из таких инвариантов («число мостов») был введён Милнором под названием «crookedness»‎. Другой пример известен под названием «‎индекс косы»‎. Оба инварианта допускают эквивалентные определения в элементарных комбинаторных терминах. В докладе будет описана серия новых инвариантов, обобщающих первый и второй. Одной из основных задач исследования является доказательство или опровержение аддитивности (относительно связного суммирования узлов) инвариантов из этой серии. Аддитивность числа мостов и индекса косы хорошо известна. Ожидается, что с помощью нового взгляда на эти инварианты удастся получить элементарное доказательство аддитивности индекса косы.

10 октября, 15:25-16:25

Алексей Миллер

Графы преобразований узлов

Будут описаны основы теории Гордиевых графов преобразований узлов. Особое внимание будет уделено локальным преобразованиям. В качестве демонстрации будет показано, как инвариантность количества правильных раскрасок диаграмм в три цвета применима для доказательства несвязности тех или иных Гордиевых графов.

5 октября, 17:10-18:45

Илья Алексеев

Актуальные исследовательские направления в маломерной топологии

Будут обсуждаться исследовательские задачи, предложенные участниками семинара.