Select Page

‎Low-dimensional topology student seminar

The organizers of the seminar strive to unite people who are interested in various sections of low-dimensional topology. One of the main goals of the seminar is engaging research participants in exciting discussions followed by flights of fantasies, leading to both the generations of specific problems and ways of their solution. In the understanding of the organizers of the seminar, low-dimensional topology includes such aspects of the theory of surfaces, three-dimensional manifolds, and knots as complexity measures, geometric and combinatorial structures, Thurston classification, polynomial invariants and finite order invariants, surgery, branched coverings, configuration spaces, mapping class groups, and others. We would like to organize not so much an overview seminar, but rather classes in which everyone interested in research areas related to the topics proposed above could familiarize themselves with the context in the research and join it.

To participate in the seminar activities, please contact Ilya Alexeev. You can also use this link to join the mailing list of the seminar.

Seminar addresses: room 201, zoom channel ID 384-956-974. If you do not know the password, please write an email to Ilya Alekseev.

 

Организаторы семинара стремятся объединить людей, интересующихся теми или иными аспектами маломерной топологии. Одной из основных целей семинара является проведение обсуждений захватывающих участников исследовательских направлений, за которыми следуют полеты фантазий, приводящие как к генерации конкретных задач, так и к их решениям. В понимании организаторов семинара, маломерная топология включает в себя такие аспекты теории поверхностей, теории трёхмерных многообразий и теории узлов, как: меры сложности, геометрические и комбинаторные структуры, тёрстоновская классификация, полиномиальные инварианты и инварианты конечного порядка, хирургии, разветвлённые накрытия, конфигурационные пространства, группы классов отображений и другие. Хотелось бы организовать не столько обзорный семинар, сколько занятия, на которых все желающие, которым интересны исследовательские направления, касающиеся предлагаемых выше тем, могли бы ознакомиться с контекстом и присоединиться к актуальным исследованиям.

 

Видеозаписи прошедших заседаний: ссылка.
Стенограмма заседаний: ссылка.
Telegram канал: ссылка.
Для участия в мероприятиях семинара обращайтесь к Илье Алексееву. Вы также можете использовать эту ссылку, чтобы подписаться на рассылку семинара.
Адрес: 14 линия В.О., дом 29Б, аудитория 201.
Zoom канал: ID 384-956-974, пароль стандартный (его можно спросить у Ильи Алексеева).

Forcoming talks

1 октября, 13:40-15:40

Илья Алексеев

Расслоённые узлы

Узел называется расслоённым, если существует (локально тривиальное) расслоение над окружностью дополнения этого узла до трёхмерной сферы. Слои такого расслоения являются гомеоморфными поверхностями, непрерывно заполняющими трёхмерную сферу, а их замыкания пересекаются только по узлу. Грубо говоря, узел является расслоённым, если существует ограничивающая его поверхность, допускающая вращение вокруг этого узла. Мы подробно обсудим необходимые и достаточные условия расслоённости и увидим с разных сторон, почему расслоёнными являются все торические и другие узлы.

Past talks

24 сентября, 13:40-14:40

Руслан Магдиев

Группы, действующие на корневых деревьях

В 1980х Ростислав Григорчук открыл класс групп, который дал старт теории ветвящихся (branched) групп и теории самоподобных (self-similar) групп. В этих теориях изучаются группы, ‘рекурсивно’ действующие на корневых деревья. Оказывается, данная особенность групп позволяет генерировать как и примеры, так и контрпримеры к разным гипотезам, связанным с аменабельностью, ростом и периодичностью.
Доклад будет посвящен обзору общих конструкций в данных теориях и методам доказательства субэкспоненциальности роста. Также будут рассмотрены открытые вопросы на примере самых известных самоподобных групп.

21 июня, 13:40-15:40

Василий Ионин

Новая симплициальная структура на группах кос

Чисто категорное понятие симплициального множества обобщает понятие симплициального комплекса и в некотором смысле моделирует понятие ‘хорошего’ топологического пространства. Зародившись в 50е годы прошлого века, теория симплициальных множеств довольно быстро заняла роль основного фреймворка в теории гомотопий.
На докладе мы обсудим следующие сюжеты, сопряженные с маломерной топологией:
– Конструкция Милнора симплициальной группы.
– Симплициальная структура на свободных группах и
гомотопические группы 2-сферы.
– Комплекс Мура брунновых кос.
– Группа классов отображений проколотой сферы и автоморфизмы групп крашеных кос.
– Новая симплициальная структура на коммутантах групп крашеных кос и неожиданные импликации.
Пререквизиты: базовая теория групп и алгебраическая топология (гомотопические группы).

9 июня, 13:40-15:40

Вячеслав Гончаров

Числа Гурвица и пространства модулей

Поговорим о том, что такое числа Гурвица. Введем понятие орбифолда и рассмотрим конкретную конструкцию — пространство модулей. В конце обсудим ELSV-формулу, которая связывает пространства модулей и числа Гурвица.

23 мая, 13:40-15:40

Игорь Басков

Гамма-модули алгебр непрерывных функций ленты Мёбиуса и цилиндра

Каждой коммутативной k-алгебре A можно сопоставить объект, состоящий из k-векторных пространств, называемый комплексом Лодэя или Гамма-модулем алгебры A. Для топологического пространства рассмотрим комлекс Лодэя, отвечающий его алгебре вещественных непрерывных функций C(X). Для гладкого многообразия X мы рассмотрим алгебру вещественных гладких функций C^\infty(X).
Мы построим изоморфизм Гамма-модулей алгебр непрерывных функций для двух негомеоморфных пространств (цилиндра и ленты Мебиуса). Также мы покажем, как из Гамма-модуля алгебры C^r(X) (r=0 или \infty) естественным образом восстанавливаются когомологии де Рама алгебры C^r(X) и как эти когомологии связаны с когомологиями пространства X.

16 мая, 13:40-15:40

Даниил Нигомедьянов

Теория сложности трёхмерных многообразий с точки зрения специальных спайнов

Триангуляционная сложность трёхмерных многообразий — наименьшее число тетраэдров среди всех триангуляций данного многообразия. Она является важнейшим инвариантом 3-многообразий, однако установить её точное значение очень непросто.
Совместно с Евгением Анатольевичем Фоминых нами была получена новая нижняя оценка на триангуляционную сложность и описан класс 3-многообразий, для которого эта оценка является точной.
На семинаре предлагается разобрать доказательство этого результата с использованием языка специальных спайнов (двойственных объектов к триангуляциям), а также дать конструктивное описание нескольких бесконечных серий 3-многообразий, для которых нижняя оценка достигается.

2 мая, 13:40-15:40

Алексей Миллер

Поведение гордиевых графов на бесконечности

Доклад посвящён решению задачи о вычислении количества концов гордиева графа преобразования “переключение перекрестка”, поставленной Жан-Марком Гамбоду и Этьеном Жисом в 2005 году. Мы обсудим предпосылки к исследованию поведения графов на бесконечности, место этой задачи в теории преобразований узлов и различные вариации её постановки, после чего приведем рассуждение, позволяющее описать концы не только гордиева графа “переключения перекрестка”, но и графа произвольного рационального преобразования. Кроме того, мы кратко обозрим теорию рациональных тенглов, теорию разветвленных накрывающих пространств и их гомологии, перестройки трёхмерных многообразий и различные связанные результаты о гордиевых графах. Наконец, предполагается обсудить некоторые дальнейшие гипотезы о количествах концов и других глобальных инвариантах гордиевых графов, а также презентовать открытые задачи.

18 апреля, 13:40-15:40

Илья Алексеев

Новое свойство положительных узлов

Зачастую геометрические свойства узлов и зацеплений находятся в прямом соответствии с алгебраическими свойствами их полиномиальных инвариантов (например, многочленов Александера, Конвея и других). Доклад посвящен описанию наглядного геометрического свойства, отвечающего максимальности (с точки зрения оценки Мортона — Фрэнкса — Уильямса) ширины многочлена HOMFLY-PT зацепления, представленного положительной диаграммой. Если позволит время, мы обсудим возникающие в этом направлении открытые вопросы.

11 апреля, 13:40-15:40

Артём Семидетнов

О случайных блужданиях на группах

В докладе будет представлено введение в теорию случайных блужданий на группах без погружения в технические детали. Будет сделан акцент на граничном подходе — анализе случайных блужданий на основе их поведения на бесконечности. Предполагается знакомство с базовыми понятиями теории меры.

4 апреля, 13:40-15:40

Аршак Айвазьян

Общая точка зрения на некоторые основные понятия современной геометрии

В докладе я дам обзор следующих понятий и связей между ними: главные G-расслоения, G-структуры, классифицирующие пространства, теории характеристических классов, обобщенные теории когомологий, спектры, бесконечнократные пространства петель, операды. Опишу классические примеры категорий G-структур (изучение которых фактически составляет основные разделы современной геометрии), обобщенных теорий когомологий и теорий характеристических классов (которые до открытия классиками общей точки зрения были известны под совершенно разными именами). Кроме того я поделюсь естественной общей точкой зрения на G-структуры и обобщенные теорий когомологий (последнее обобщение включает также ковариантные инварианты такие как гомотопические группы).
Пререквезиты: азы дифференциальной и алгебраической топологии; язык теории категорий (для понимания некоторых замечаний также необходимо быть знакомым с понятием локально-окольцованного пространства)

28 марта, 13:40-15:40

Руслан Магдиев

Новые результаты о геодезическом росте групп

Доклад посвящён вопросу существования групп промежуточного геодезического роста. Функцией геодезического роста группы с фиксированным порождающим множеством называется сопоставление натуральному числу n количества начинающихся в нейтральном элементе геодезических кривых длины n в соответствующем графе Кэли. Данное определение аналогично определению функции роста, которая вычисляет количество элементов группы, находящихся в графе Кэли на расстоянии n от нейтрального элемента.
В 1984 году Ростислав Григорчук построил примеры групп, рост которых быстрее любого полинома, но медленнее экспоненты, — групп промежуточного роста. При всем этом до сих пор неизвестно, существуют ли группы, имеющие промежуточный геодезический рост, так как условия на геодезический рост оказываются куда сильнее условий на рост группы. Так, например, полиномиальность геодезического роста говорит о том, что группа — виртуально нильпотентная, а её абелианизация — виртуально циклическая.
Доклад представляет собой обзор самых свежих результатов, касающихся вопросов о геодезическом росте. Также будет представлен пример группы, геодезический рост которой может оказаться промежуточным.

23 марта, 13:40-15:40

Никита Голубь

Эквивариантные пучки, действия групп и гомологические характеристики многообразий (продолжение)

В докладе будут приведены первоначальные результаты в теории эквивариантных пучков и их приложения к задачам, возникающим в связи с действиями топологических групп на различных классах пространств.
Будет введено понятие точности таких действий и с каждым пучком на пространстве будет ассоциирован новый, эквивариантный относительного данного действия. Будет показано, что любое действие конечной группы на метризуемом пространстве является точным и что для точных действий когомологии ассоциированного пучка совпадают с когомологиями изначального. Также будет указан ряд гомологических следствий точности действия.
Наконец, мы обсудим возможность применения данного формализма к обнаружению потенциальных контрпримеров к гипотезе Гильберта — Смита.

15 марта, 17:10-19:00

Никита Голубь

Эквивариантные пучки, действия групп и гомологические характеристики многообразий

В докладе будут приведены первоначальные результаты в теории эквивариантных пучков и их приложения к задачам, возникающим в связи с действиями топологических групп на различных классах пространств. 
Будет введено понятие точности таких действий и с каждым пучком на пространстве будет ассоциирован новый, эквивариантный относительного данного действия. Будет показано, что любое действие конечной группы на метризуемом пространстве является точным и что для точных действий когомологии ассоциированного пучка совпадают с когомологиями изначального. Также будет указан ряд гомологических следствий точности действия. 
Наконец, мы обсудим возможность применения данного формализма к обнаружению потенциальных контрпримеров к гипотезе Гильберта — Смита.

15 декабря, 17:10-19:00

Илья Алексеев

Инварианты узлов и кос из четырёхмерной топологии

Целью доклада является демонстрация элементарных применений инструментов четырёхмерной топологии в классической теории узлов. Следуя работе P. Feller, D. Hubbard — “Braids with as many full twists as strands realize the braid index” (https://arxiv.org/abs/1708.04998), мы научимся строить квазиморфизмы на группах кос по липшицевым вещественнозначным гомоморфизмам на группе классов конкордантности узлов.

7 декабря, 19:00-20:30

Алексей Миллер

Мошенничество Мазура-Эйленберга

В шахматном английском, помимо “traps” и “pitfalls”, для обозначения ловушек иногда используют слово “swindle”. Ловушка-swindle — это последний шанс, неожиданно и элегантно выводящий игрока из откровенно проигрышной позиции к победе или ничьей. Именно это значение удивительно точно подчеркивает суть приема “Eilenberg-Mazur swindle” (хотя, конечно, трактовка “swindle”=”мошенничество” также имеет с этим значением некие глубинные корреляции). Мы увидим ряд никак не связанных друг с другом вопросов из разных разделов математики, в основе доказательства которых лежит один и тот же принцип классической математической шутки-ошибки. Помимо прочего, более подробно мы остановимся на истории открытия мошенничеством Мазура-Эйленберга дороги к изучению топологии старших размерностей и судьбе теоремы Шёнфлиса.

30 ноября, 17:00-18:30

Юрий Белоусов

Геометрическое разложение меандров

Меандр — это кривая на плоскости, которая трансверсально пересекает заданную прямую в конечном числе точек. Существует глубокая связь между меандрами, алгеброй Темперли-Либа, моделями статистической физики и пространствами модулей комплексных кривых. Несмотря на высокий интерес к этой сфере, центральные вопросы — количество меандров с заданным количеством пересечений, а также асимптотика этих чисел — до сих пор остаются открытыми. Мы собираемся обсудить некоторые основные факты о меандрах, в частности проблему их перечисления. Мы также опишем недавно обнаруженное геометрическое разложение меандров на неприводимые компоненты. Это разложение приводит нас к новому подходу к проблеме перечисления меандров.

19 октября, 17:10-19:10

Михаил Чернавских, Алтан Эрднигор

 Триангуляции RP^2, в направлении Тёрстона

В статье W. Thurston «Shapes of polyhedra and triangulations of the sphere» изучаются локально плоские метрики с коническими особенностями с неотрицательной кривизной на двумерной сфере. К примеру, любой выпуклый многогранник доставляет пример такой метрики. Thurston исследует многообразие модулей \mathcal M таких метрик, его пополнение, а также выделяет отдельный класс метрик, берущихся из триангуляций сферы одинаковыми правильными треугольниками. Оказывается, \mathcal M имеет структуру комплексного гиперболического многообразия, а триангуляции играют роль целых точек в нём. Мы расскажем об этой работе, своих попытках расширить её результаты на \mathbb R \mathbb P^2, а также упомянем некоторые приложения.

6 октября, 17:10-19:10

Даниил Нигомедьянов

Разложение Коджимы гиперболических 3-многообразий (продолжение)

Доклад основан на статье “Polyhedral Decomposition of Hyperbolic 3-Manifolds with Totally Geodesic Boundary” японского математика Sadayoshi Kojima. На семинаре мы разберём формулировки основного результата статьи, окунёмся в фантастический мир гиперболической геометрии, а также посмотрим на пару наглядных и красивых доказательств.

29 сентября, 17:10-19:10

Михаил Михайлов, Василий Ионин, Илья Алексеев

Автоморфизмы групп крашеных кос и гомотопические группы сфер (продолжение)

Доклад посвящен рассказу о новом аспекте известной связи между косами с n нитями и сфероидами — отображениями из n-мерной сферы S^n в S^2.
Коса называется брунновой, если все косы, получающиеся из неё удалением любой струны, тривиальны. Известная, но загадочная конструкция позволяет сопоставить брунновым косам сфероиды. Например, трёхниточная коса, замыкающаяся в кольца Борромео, соответствует знаменитому расслоению Хопфа.
Это сопоставление сохраняет алгебраические структуры в следующем смысле. На множествах кос с фиксированным количеством нитей определена операция умножения, превращающая их в группы. Оказывается, умножение брунновых кос соответствует связному суммированию сфероидов. Группы сфероидов известны как гомотопические группы двумерной сферы S^2.
В совместной работе мы обнаружили, что это сопоставление индуцирует алгебраические симметрии. А именно, всем автоморфизмам групп крашеных кос соответствуют автоморфизмы гомотопических групп. Например, наши вычисления показали, что «новый автоморфизм», которому были посвящены предыдущие доклады на семинаре, “зеркально обращает” расслоение Хопфа. Работа проводилась на «Летней исследовательской программе студентов».
Предварительных знаний не предполагается — рассказ рассчитан на широкую аудиторию.

22 сентября, 17:10-19:10

Михаил Михайлов, Василий Ионин, Илья Алексеев

Автоморфизмы групп крашеных кос и гомотопические группы сфер

Доклад посвящен рассказу о новом аспекте известной связи между косами с n нитями и сфероидами — отображениями из n-мерной сферы S^n в S^2.
Коса называется брунновой, если все косы, получающиеся из неё удалением любой струны, тривиальны. Известная, но загадочная конструкция позволяет сопоставить брунновым косам сфероиды. Например, трёхниточная коса, замыкающаяся в кольца Борромео, соответствует знаменитому расслоению Хопфа.
Это сопоставление сохраняет алгебраические структуры в следующем смысле. На множествах кос с фиксированным количеством нитей определена операция умножения, превращающая их в группы. Оказывается, умножение брунновых кос соответствует связному суммированию сфероидов. Группы сфероидов известны как гомотопические группы двумерной сферы S^2.
В совместной работе мы обнаружили, что это сопоставление индуцирует алгебраические симметрии. А именно, всем автоморфизмам групп крашеных кос соответствуют автоморфизмы гомотопических групп. Например, наши вычисления показали, что «новый автоморфизм», которому были посвящены предыдущие доклады на семинаре, “зеркально обращает” расслоение Хопфа. Работа проводилась на «Летней исследовательской программе студентов».
Предварительных знаний не предполагается — рассказ рассчитан на широкую аудиторию.

15 сентября, 17:10-19:10

Даниил Нигомедьянов

Разложение Коджимы гиперболических 3-многообразий

Доклад основан на статье “Polyhedral Decomposition of Hyperbolic 3-Manifolds with Totally Geodesic Boundary” японского математика Sadayoshi Kojima. На семинаре мы разберём формулировки основного результата статьи, окунёмся в фантастический мир гиперболической геометрии, а также посмотрим на пару наглядных и красивых доказательств.

29 апреля, 17:10-19:10

Даша Аксенова

Все автоморфизмы групп крашеных кос продолжаются на моноиды струнных зацеплений

Рассказ посвящен исследованию моноидов StL_n струнных зацеплений с n нитями и содержащихся в них групп крашеных кос P_n.
Центральным объектом повествования является серия автоморфизмов этих моноидов, определения которых основаны на нескольких красочных топологических конструкциях.
Исключительность этой серии обусловлена тем, что их ограничения на подгруппы крашеных кос дополняют автоморфизм-отражение, внутренние и центральные автоморфизмы до порождающего множества Aut(P_n).
Последние автоморфизмы имеют прозрачный геометрический смысл, который ярко контрастирует с конструкцией новых автоморфизмов.
Основной целью рассказа является изложение этой конструкции и, как следствие, доказательство возможности продолжения всех автоморфизмов групп крашеных кос на моноиды струнных зацеплений. 

22 апреля, 17:10-19:10

Алексей Миллер

Новые вопросы в теории Гордиевых графов (продолжение)

 

15 апреля, 17:10-19:10

Алексей Миллер

Новые вопросы в теории Гордиевых графов

 

8 апреля, 17:10-19:10

Никита Башаев

Топография базисов и представимость целых чисел квадратичными формами

 

1 апреля, 17:10-19:10

Даня Мамаев

Конфигурационные пространства шарнирных механизмов

Шарнирный механизм L — это несколько палок, концы которых соединены в связную конструкцию шарнирным соединением (в простейшем случае идеальным сферическим). Конфигурационное пространство M_d(L) такого механизма — это множество его существенно разных положений в евклидовом пространстве фиксированной размерности d.
Будет рассказано про разные структуры, которые возникают на конфигурационных пространствах шарнирных механизмов (гладкая, симплектическая, …) и про связь конфигурационных пространств с другими геометрическими объектами (компактификации пространств модулей, универсальность среди гладких многообразий, …).
Если останется время, то мы применим связи и структуры из предыдущего абзаца для вычисления чисел Бетти и описания умножения в кольце когомологий конфигурационных пространств шарнирных n-угольников на плоскости и в пространстве.  

25 марта, 17:10-19:10

Илья Алексеев

Заузленные поверхности в четырёхмерном пространстве (продолжение)

 

18 марта, 17:10-19:10

Илья Алексеев

Заузленные поверхности в четырёхмерном пространстве (продолжение)

 

11 марта, 17:10-19:10

Илья Алексеев

Заузленные поверхности в четырёхмерном пространстве

Целью рассказа является введение так называемого кобордизм-расстояния на множестве узлов и зацеплений. Для этого будут описаны основные способы визуализации подмножеств пространства R^4. В качестве иллюстрации будет рассказано о ленточных узлах, связывающих четырёхмерную топологию с классической теорией узлов, и о так называемых двумерных узлах, представляющих собой изотопические классы вложений сферы S^2 в R^4. Рассказ будет сопровождаться открытыми вопросами и панорамными взглядами на соответствующие разделы маломерной топологии.

 

4 марта, 17:10-19:10

Даниил Нигомедьянов

Зоопарк 3-многообразий и триангуляционная сложность

На семинаре будут обсуждаться вопросы маломерной топологии, связанные с задачей классификации 3-многообразий с краем. Топологические 3-многообразия с краем можно задавать при помощи идеальных триангуляций, однако это соответствие не биективное. В попытке установить каноническое соответствие между 3-многообразиями и идеальными триангуляциями будет введено понятие сложности и минимальных триангуляций. Откуда естественным образом возникнет задача вычисления сложности 3-многообразий. 
Будет построена новая нижняя оценка сложности при помощи Z_2-гомологий, найдена бесконечная серия 3-многообразий, для которых эта оценка точна, описаны минимальные триангуляции этих многообразий и поставлен вопрос об их гиперболичности. Ключевые понятия: трёхмерные многообразия с краем; идеальные триангуляции; теория сложности 3-многообразий; Z_2-гомологии; специальные спайны; гиперболичность.

 

26 декабря, 15:25-17:25

Илья Алексеев

Косовские монодромии разветвлённых накрытий поверхностей (продолжение)

 

19 декабря, 15:25-17:25

Илья Алексеев

Косовские монодромии разветвлённых накрытий поверхностей

 На занятии будет рассказано о топологии полиномиальных отображений комплексной плоскости. Мы научимся сопоставлять каждому многочлену древовидную картинку на плоскости, которая отражает его топологические свойства. Каждому многочлену степени N мы сопоставим подгруппу в группе кос Артина с N нитями, которая называется его группой косовских монодромий. Её образ в симметрической группе изоморфен группе монодромий — одному из центральных объектов топологической теории Галуа. Будет сформулировано несколько нерешённых задач. Кроме того, будет приведено элементарное доказательство того, что если количество различных критических значений многочлена на единицу меньше его степени, то группа косовских монодромий такого многочлена совпадает со всей группой кос (см. https://arxiv.org/abs/2008.05187 для доказательства этого факта с использованием алгебро-геометрического подхода).

12 декабря, 15:25-17:25

Дарья Аксенова

Автоморфизмы моноидов струнных зацеплений (продолжение)

 

5 декабря, 15:25-17:25

Дарья Аксенова

Автоморфизмы моноидов струнных зацеплений

Будет рассказано о моноидах (крашеных) струнных зацеплений SL_n, которые содержат в качестве подгрупп группы крашеных кос PB_n, и о новых автоморфизмах θ_n моноидов SL_n. Определение автоморфизмов θ_n носит топологический характер. Ограничения θ_n на группы PB_n могут быть заданы на стандартных образующих этих групп явными формулами. В частности, будут обсуждаться исследовательские вопросы, связанные с этими автоморфизмами.

 

28 ноября, 15:25-17:25

Руслан Магдиев

Геометрия многообразия NIL (продолжение)

 

21 ноября, 15:25-17:25

Руслан Магдиев

Геометрия многообразия NIL

Будет рассказано об одном из восьми односвязных трёхмерных римановых многообразий, входящих в список идеальных геометрий, которые фигурируют в геометризационной гипотезе Тёрстона, доказанной Перельманом. Вышеупомянутое риманово многообразие гомеоморфно трёхмерному евклидовому пространству и наделяется структурой группы Ли, называемой (непрерывной) группой Гейзенберга. 

16 ноября, 17:00-19:00

Алексей Кривовичев

Универсальные диаграммы узлов

Будет описан результат, представленный в работе [S. Yamada, The minimal number of Seifert circles equals the braid index of link, Invent. Math. 891 (1987), 347–356]. Кроме того, будут предложены открытые вопросы, связанные с этим результатом. 

7 ноября, 15:25-17:25

Ильнур Байбулов

Введение в теорию виртуальных узлов

Будет описано соответствие между диаграмматическим представлением виртуальных узлов и классами эквивалентности вложенных в утолщённые поверхности классических узлов.

2 ноября, 17:00-18:00

Илья Алексеев

О феномене зрительной распознаваемости некоторых свойств узлов

Будет рассказано о феномене в теории узлов, который заключается в том, что некоторые зрительно распознаваемые свойства диаграмм гарантируют наличие тех или иных топологических и геометрических свойств соответствующих узлов и зацеплений. Особое внимание будет уделено свойству минимальности (по количеству перекрёстков) диаграмм. В частности, мы обсудим (доказанные) гипотезы Тейта об альтернированных узлах, перспективу обобщения соответствующих результатов на однородные узлы и зацепления, а также результаты, представленные в работе https://arxiv.org/abs/2012.04330. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 19-11-00151).

24 октября, 15:25-17:25

Алексей Миллер

Открытые вопросы в теории графов преобразований узлов

Будут обсуждаться предложения по исследовательским направлениям, связанным с Гордиевыми графами преобразований.

17 октября, 14:15-15:15

Алексей Миллер

Графы преобразований узлов (продолжение)

 

17 октября, 13:40-14:15

Александр Захаров

Геометрическая теория узлов и интегральные инварианты (продолжение)

 

10 октября, 16:25-17:00

Александр Захаров

Геометрическая теория узлов и интегральные инварианты

Будет описана связь между теорией узлов и интегральной геометрией. Отправной точкой рассказа является Теорема Фари-Милнора. Будет рассмотрено несколько инвариантов узлов, определяемых в терминах интегрирования разных величин по кривым-представителям данного узла. Один из таких инвариантов («число мостов») был введён Милнором под названием «crookedness»‎. Другой пример известен под названием «‎индекс косы»‎. Оба инварианта допускают эквивалентные определения в элементарных комбинаторных терминах. В докладе будет описана серия новых инвариантов, обобщающих первый и второй. Одной из основных задач исследования является доказательство или опровержение аддитивности (относительно связного суммирования узлов) инвариантов из этой серии. Аддитивность числа мостов и индекса косы хорошо известна. Ожидается, что с помощью нового взгляда на эти инварианты удастся получить элементарное доказательство аддитивности индекса косы.

10 октября, 15:25-16:25

Алексей Миллер

Графы преобразований узлов

Будут описаны основы теории Гордиевых графов преобразований узлов. Особое внимание будет уделено локальным преобразованиям. В качестве демонстрации будет показано, как инвариантность количества правильных раскрасок диаграмм в три цвета применима для доказательства несвязности тех или иных Гордиевых графов.

5 октября, 17:10-18:45

Илья Алексеев

Актуальные исследовательские направления в маломерной топологии

Будут обсуждаться исследовательские задачи, предложенные участниками семинара.